Составители:
50
Рассмотрим точную верхнюю грань
R
расстояний
0
zz − от точки
0
z
до точек
z
, в которых сходится ряд (1).
Тогда внутри круга
Rzz
<
−
0
ряд (1) будет сходиться (и при том абсо-
лютно), вне этого круга – расходиться. В точках границы
Rzz =−
0
ряд (1)
может как сходиться так и расходиться.
Если ряд (1) сходится лишь в точке
0
z , то положим 0=
R
.
Если ряд (1) сходится на всей комплексной плоскости, то положим
∞=
R
.
Таким образом, область сходимости степенного ряда (1) представляет
собой круг
Rzz
<
−
0
,
∞
≤
≤
R
0 , (2)
который называется кругом сходимости, а число
R
- радиусом сходимости.
Следствие 2. Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к не-
прерывной аналитической функции. В круге сходимости ряд (1) можно диф-
ференцировать любое число раз, в результате будем получать степенные ря-
ды с тем же радиусом сходимости.
Радиус сходимости степенного ряда (1) можно определить, применяя
признаки Д’Аламбера и Коши к абсолютному ряду
для ряда (1).
Пусть, например, все коэффициенты ряда
()
∑
−
∞
=
0
0
n
n
n
zzc отличны от ну-
ля и существует
0lim
1
≠=
+
∞→
D
c
c
n
n
n
. Тогда, применяя признак Д’Аламбера к ря-
ду
()
∑
−
∞
=
0
0
n
n
n
zzc , получаем, что
()
()
00
1
0
1
01
limlim zzDzz
c
c
zzc
zzc
n
n
n
n
n
n
n
n
−⋅=−=
−
−
+
∞→
+
+
∞→
.
Отсюда следует, что ряд (1) сходится (абсолютно!) при таких
z
, для
которых
1
0
<−⋅ zzD , то есть
D
zz
1
0
<− , и расходится при таких z , для ко-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
