Составители:
52
Следовательно,
0=
R
и данный ряд сходится в единственной точке
1
=z .
Пример 3. Разложить в степенной ряд по степеням
iz 2+ функцию
()
z
zf
1
=
и указать область сходимости полученного ряда.
Решение. Преобразуем функцию
()
z
zf
1
=
следующим образом:
i
iz
iiizz
2
2
1
1
2
1
22
11
+
−
⋅−=
−+
=
.
Дробь
i
iz
2
2
1
1
+
−
развернем в сходящийся ряд геометрической прогрес-
сии с первым членом равным 1 и знаменателем
i
iz
2
2
+
, при условии, что
1
2
2
<
+
i
iz
. Получим
()
()
()
K+++++=
+
−
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
iz
i
iz
i
i
iz
.
Тогда функция
()
zf
представима рядом
()
()
()
()
()
()
∑
+−=++−+−−=
∞
=
+
0
1
2
32
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
11
n
n
n
iz
i
iz
i
iz
iiz
K ,
причем полученный ряд будет абсолютно сходится для всех
z , для которых
выполняется неравенство
1
2
2
<
+
i
iz
или 22
<
+
iz и расходится для всех z ,
для которых
22 >
+
iz . Значит, кругом сходимости полученного ряда будет
круг:
22 <+ iz .
§6. Определение функций
z
e , zsin , zcos . Формулы Эйлера
Среди элементарных функций действительного аргумента важную роль
играют функции
x
e ,
x
sin ,
x
cos . Как известно, эти функции могут быть
представлены своими разложениями в ряды Тейлора:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
