Составители:
54
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=−+ KKK
!5!3!4!2
1
!5
53425
zz
zi
zz
i
z
.
Заметив, что ряд, стоящий в первых скобках определяет
zcos , а ряд,
стоящий в скобках при
i определяет zsin , получаем тождество
zize
iz
sincos
+
=
, (7)
которое называется тождеством Эйлера.
2. Поскольку ряд для z
cos содержит лишь четные степени z , а ряд
z
sin - лишь нечетные степени z , имеем
()
zz coscos
=
−
;
(
)
zz sinsin
−
=
−
.
Заменим в тождестве Эйлера
z на z
−
, получим
zize
iz
sincos
−
=
−
. (8)
Складывая и вычитая тождества (7) и (8), имеем:
2
cos
iziz
ee
z
−
+
=
; (9)
i
ee
z
iziz
2
sin
−
−
=
. (10)
Формулы (9) и (10) так же носят имя Эйлера.
Пример 1. Вычислить значения функций: а)
i
e
2
π
; б)
()
icos .
Решение. а) по формуле (7) получаем
iie
i
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
sin
2
cos
2
ππ
π
.
б) по формуле (9) имеем
1ch
22
cos
11
22
=
+
=
+
=
−−
eeee
i
ii
.
Замечание 1. Легко убедиться, что
1
2
1
22
cos
11
>+=
+
=
−
e
eee
i
, то есть
в области комплексных чисел нарушаются известные для вещественного
случая неравенства:
1cos
≤
z ; 1sin
≤
z .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
