Составители:
59
§8. Функция
z
w
1
=
Функция
z
w
1
= определена во всех точках комплексной плоскости,
кроме
0=
z
. Полагая ∞=w при 0
=
z и 0
=
w при ∞
=
z распространим эту
функцию на всю расширенную комплексную плоскость. Так как из
21
z
z
≠
следует, что
21
11
zz
≠
, то функция
z
1
взаимно однозначно отображает расши-
ренную комплексную плоскость на себя.
Выделим вещественную и мнимую части функции
z
w
1
= и найдем об-
ласть аналитичности этой функции:
()
222222
1
yx
y
i
yx
x
yx
iyx
iyx
w
+
−
+
+
=
+
−
=
+
= (1)
()
22
,
yx
x
yxu
+
= ,
()
22
,
yx
y
yxv
+
−= .
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
()
2
22
22
yx
xy
x
u
+
−
=
∂
∂
;
()
2
22
22
yx
xy
y
v
+
−
=
∂
∂
;
()
2
22
2
yx
xy
y
u
+
−
=
∂
∂
;
()
2
22
2
yx
xy
x
v
+
=
∂
∂
.
Очевидно, что условия Коши-Римана выполнены во всех точках ком-
плексной плоскости, кроме точки
(
)
0;0 . Если считать, что угол между кри-
выми
1
L
и
2
L
в точке ∞ равен взятому с обратным знаком углу в точке
0
между их образами при преобразовании
z
1
, то конформность отображения
z
w
1
=
сохраняется и в точке 0
=
z . В самом деле, лучи
α
=
z
ar
g
и
β
=
zar
g
переходят при этом преобразовании в лучи
α
−
=
warg и
β
−
=war
g
,и при
этом угол между лучами не изменяется.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
