Составители:
64
Выделим из дроби целую часть:
()
()
()
dczc
adbc
c
a
dczc
adadbazc
dcz
baz
w
+
−
+=
+
−
+
+
=
+
+
=
.
Отображение (1) сводится к композиции трех отображений:
1)
dc
z
t
+= , 2)
t
q
1
= , 3)
l
kqw
+
=
, где
c
adbc
k
−
= ,
c
a
l =
. Первое и
третье из них являются линейными отображениями, а второе – отображение,
изученное в предыдущем параграфе.
Дробно-линейную функцию можно распространить на всю расширен-
ную комплексную плоскость. Так как
c
a
dcz
baz
z
=
+
+
→∞
lim , ∞=
+
+
−→
dcz
baz
c
d
z
lim ,
то точка
∞ переходит при этом отображении в
c
a
, а точка
c
d
−
в ∞ .
Если считать прямую окружностью бесконечно большого радиуса, то
получаем, как и линейное отображение, так и отображение
z
w
1
=
переводят в
себя совокупность прямых и окружностей на плоскости. Отсюда вытекает,
что при любом дробно-рациональном преобразовании совокупность прямых
и окружностей на плоскости переходит в себя.
Дробно-рациональная функция преображает всякую окружность в ок-
ружность. Это так называемое
круговое свойство.
Внутренняя область отображаемой окружности переходит либо во
внутреннюю область образа, либо во внешнюю область образа.
Функция
w , определяемая из уравнения
3
32
12
1
3
32
12
1
ww
ww
ww
ww
zz
zz
zz
zz
−
−
⋅
−
−
=
−
−
⋅
−
−
(2)
отображает окружность, проходящую через точки
1
z ,
2
z ,
3
z плоскости
XO
Y
, в окружность, проходящую через точки
1
w ,
2
w ,
3
w плоскости UO
V
.
Пример 1. Найти дробно-рациональную функцию, переводящую точку
1 в точку –1, точку
i в точку 0 и точку
∞
в точку 1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
