Составители:
66
§10. Степенная функция
Определение 1. Функция
n
zw
=
, (1)
где
n - натуральное число, называется степенной функцией.
Областью определения функции является вся комплексная плоскость.
Если
1>n , то степенная функция не является взаимно однозначной, то
есть обратимой. Действительно, если
ϕ
i
rez
=
, по формуле Муавра:
(
)
ϕϕ
ϕ
ninrerz
ninnn
sincos +== .
Отсюда вытекает, что при
(
)
ϕ
ϕ
sincos irz
+
=
,
()
ψ
ψ
sincos iRw +
=
ра-
венство (1) имеет место в том и только в том случае, если
n
r
R
= ,
k
n
π
ϕ
ψ
2
+
=
,
k
- целое.
Получаем, что луч
α
ϕ
= переходит при
отображении (1) в луч
α
ψ
n= (рис 2). Видно,
что при
1>n в точке 0=z нарушается кон-
формность отображения (1).
Рассмотрим более подробно отображение
2
zw
=
. Так как при этом ото-
бражении аргументы
z удваиваются, то верхняя полуплоскость 0Im ≥z пе-
реходит во всю плоскость
UO
V
.
0
y
x
Рис. 2
nα
α
0
y
x
Рис. 1
1-1
-i
i
0
v
u -1
w
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
