Составители:
68
берегом следующего за ним листа, а нижний берег последнего листа – с
верхним берегом первого.
Функция
n
zw = задает взаимно однозначное отображение плоскости
XO
Y
на риманову поверхность. При этом отображении угол
n
z
π
2
arg0 ≤≤
плоскости
XO
Y
отображается на весь первый лист. Точно так же угол
n
z
n
π
π
4
arg
2
≤≤
отображается на второй лист и т. д. вплоть до угла
0arg
2
≤≤− z
n
π
,
который отображается на
n-ный лист поверхности. Лучи, разделяющие эти
углы, отображаются в линии, по которым склеиваются листы поверхности, а
сами углы являются областями однолистности функции
n
z .
Функцию, обратную функции
n
zw
=
, обозначают
n
zw
=
.
Из формулы Муавра следует, что каждому значению
z соответствует n
значений
n
z . Поэтому
n
zw = , рассматриваемая на комплексной плоскости,
многозначна. Чтобы сделать ее однозначной, ее рассматривают на описанной
выше римановой поверхности для функции
n
zw
=
.
Пример 1. Найти образ области ограниченной треугольником
A
B
C
;
()
0;1−A ;
()
1;0B ,
()
0;1C при отображении
2
zw
=
.
Решение.
(
)
ixyyxzw +−==
222
.
⎩
⎨
⎧
=
−=
xyv
yxu
2
22
.
Выберем направление обхода области (рис.4).
Найдем образы точек
A
,
B
,
C
и прямых
A
B
,
BC
,
AC
:
(
)
(
)
10;1
1
=
=
→
−
=
AwAA
0
Рис. 4
1 -1
i
A
B
C
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
