Составители:
65
Решение.
11
11
−
=
→= wz ;
0
22
=
→= wiz ;
1
33
=
→∞= wz .
В левой части равенства (2) для второго сомножителя справедливо:
1lim
3
32
3
=
−
−
∞→
zz
zz
z
, поэтому заменим его на 1 и получим:
1
10
10
1
1
1
−
−
⋅
+
+
=
−
−
w
w
i
z
,
()
(
)
(
)
(
)
1111
−
+
−
=
−
−
iwwz ,
iz
iz
w
−
−
+
=
2
.
Пример 2. Найти образ круга 1
≤
z при отображении
z
z
w
−
=
1
.
Решение. Найдем сначала образ окружности
1=z или 1
22
=+ yx .
Для этого выделим вещественную и мнимую части функции
w :
(
)
2222
22
yx
y
i
yx
xyx
w
+
−
+
+
−−
=
.
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−=
+
+−=
22
22
,
1,
yx
y
yxv
yx
x
yxu
, поскольку 1
22
=+ yx , то имеем
()
11
11
222
2
=+=++⇒
⎩
⎨
⎧
=−
=
+
⇒
⎩
⎨
⎧
−=
+−=
yxvu
yv
xu
yv
xu
.
Окончательно получим, что образом окружности
1=z является ок-
ружность
11
=
−w .
В какую область перейдет круг, ограниченный окружностью
1
=
z ?
Возьмем внутреннюю точку
0
=
z , ее образом будет
∞
. Это означает, что об-
разом точек круга
1<z будет внешность окружности 11 >−w .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
