Составители:
74
§12. Функция
z
e
В предыдущей главе функция
z
e была определена как сумма степенно-
го ряда
KK ++++++=
!!3!2
1
32
n
zzz
ze
n
z
.
Функция определена для любого комплексного числа. Отметим неко-
торые свойства этой функции:
1.
2121
zzzz
eee
+
=⋅ .
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++++=⋅ KKKK
!!3!2
1
!!3!2
1
2
3
2
2
2
2
1
3
1
2
1
1
21
n
zzz
z
n
zzz
zee
nn
zz
()
(
)
(
)
(
)
21
!!3!2
1
21
3
21
2
21
21
zz
n
e
n
zzzzzz
zz
+
=+
+
++
+
+
+
+++= KK .
2.
21
2
1
zz
z
z
e
e
e
−
= .
Вытекает из свойства 1.
3. Воспользовавшись формулами Эйлера и свойством (1) получим:
()
yieyeyiyeee
xxxiyxz
sincossincos +=+==
+
.
4. Функция является аналитической на всей комплексной плоскости (как
сумма степенного ряда), при этом:
()
()
z
nn n
nnn
n
n
z
e
n
z
n
z
n
nz
n
z
e =
∑∑ ∑
=
−
==
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
=
′
∞
=
∞
=
∞
=
−−
∞
=
01 0
11
0
!!1!!
.
(
)
zz
ee =
′
.
5. Функция
z
e является периодической. Для любого z справедливо равенст-
во:
ikzz
ee
π
2+
= ,
k
- целое, число i
π
2 - основной период.
Действительно, в силу свойства (1) и формул Эйлера имеем:
()
zzizikz
eieeee =+=⋅=
+
ππ
π
π
2sin2cos
22
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
