Составители:
76
вует своей полосе
n
A ). Верхний берег разреза каждого листа склеивается с
нижним берегом разреза следующего за ним листа. При этом получается
винтообразная поверхность, состоящая из бесконечного в обе стороны мно-
жества листов, склеенных указанным образом. Функция
z
e
задает взаимно
однозначное отображение комплексной плоскости на эту риманову поверх-
ность.
Выясним, во что переходит декартова сетка координат (прямые
by
=
,
a
x
= ) при отображении
z
ew
=
.
Прямая
by = имеет параметрическое задание bi
t
z += ,
(
)
+
∞
∞
−
∈ ;t .
Она переходит в линию на плоскости
UO
V
, заданную уравнением
()
bibeew
tbit
sincos +==
+
,
(
)
+
∞
∞
−
∈
;t .
Это значит, что
wb Ar
g
∈ . Так как
+
∞
<
<
t
e0 , то получаем множество
точек, имеющих один и тот же аргумент b, причем модуль меняется от 0 до
∞+ , то есть луч, выходящий из начала координат и наклоненный к действи-
тельной оси под углом b.
Прямая
a
x
= имеет параметрическое задание tiaz += ,
(
)
+
∞
∞
−
∈ ;t .
Ее образ:
(
)
titeew
atia
sincos +==
+
,
(
)
+
∞
∞
−
∈
;t .
Так как
a
ew = , то получаем, что образом прямой a
x
= служит окруж-
ность радиуса
a
e с центром в начале координат.
Итак, при отображении
z
ew
=
декартова сетка координат на комплекс-
ной плоскости
XO
Y
переходит в полярную сетку координат на плоскости
UO
V
.
Пример 1. Найти образ отрезка
x
y
=
,
π
π
≤
≤
−
x
при отображении
z
ew =
.
Решение. Любая точка отрезка имеет комплексную координату
ix
x
z += ,
π
π
≤≤−
x
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
