Составители:
75
Из периодичности следует, что отображение
z
ew
=
не является взаим-
но однозначным – все точки плоскости
XO
Y
, отличающиеся друг от друга
слагаемым, кратным
i
π
2 , переходят в одну и ту же точку плоскости UO
V
.
Возьмем на плоскости
XO
Y
горизонтальные полосы вида:
() ()
π
π
12Im12: +≤<− nznA
n
, n - целое.
Так как в каждой из них нет точек, разность мнимых частей которых
кратна
i
π
2 , то при отображении
z
ew
=
никакие две точки полосы
n
A не пе-
реходят в одну и ту же точку плоскости
UO
V
, то есть полоса является обла-
стью однолистности для функции
z
e .
Покажем, что для любого числа
0
0
≠
w , найдется число
n
Az
∈
0
, что
0
0
we
z
=
.
Пусть
ϕ
i
eRw =
0
, 0
≠
R
,
(
]
π
π
ϕ
;
−
∈
. Положим
()
inRz
π
ϕ
2ln
0
+
+= .
Очевидно, что
n
Az ∈
0
, причем
0
2ln
0
weReeee
iiniRz
==⋅⋅=
ϕ
π
ϕ
.
Итак,
z
ew =
является при любом n взаимно однозначным отображени-
ем полосы
n
A на комплексную плоскость, проколотую в точке 0.
Найдем образ прямой
(
)
π
12Im
+
=
nz , имеющей параметрическое за-
дание:
()
intz
π
12 ++= ,
R
t
∈ ;
()
tiintint
eeeeew
−
=
⋅
⋅
=
=
+
+
π
π
π
212
,
R
t
∈ .
Так как при изменении
t
от
∞
−
до
∞
+
значение
t
e
меняется от 0 до
∞+ , то образом прямой
(
)
π
12Im
+
=
nz является отрицательная действи-
тельная полуось
O
U
. Значит, для получения взаимно однозначного отобра-
жения полосы
n
A с присоединенной к ней нижней границей нужно разрезать
плоскость
UO
V
вдоль этой полуоси. Тогда одна из границ полосы перейдет
в нижний берег разреза, а вторая – в верхний.
Из сказанного вытекает, что риманова поверхность для функции
z
e со-
стоит из бесконечного множества листов плоскости
UO
V
, разрезанных
вдоль отрицательной действительной полуоси (каждая плоскость соответст-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
