Составители:
79
4. Разложения функций
zsh и zch в степенные ряды получаются из формул
разложения показательной функции
z
e . Они имеют вид:
()
∑
=
∞
=0
2
!2
ch
n
n
n
z
z
,
()
∑
+
=
∞
=
+
0
12
!12
sh
n
n
n
z
z
.
Эти ряды сходятся на всей комплексной плоскости, а потому функции
zsh и zch всюду аналитичны.
Можно установить связь между гиперболическими и тригонометриче-
скими функциями в комплексной области:
()
ziee
i
i
ee
iz
zz
zizi
sh
22
sin
22
=−−=
−
=
−
−
;
()
zee
ee
iz
zz
zizi
ch
2
1
2
cos
22
=+=
+
=
−
−
.
Отсюда имеем:
ziiz shsin
=
, ziiz sinsh
=
,
zi
z
chcos
=
,
zi
z
cosch
=
. (3)
Пример 2. Найти
isin , icos .
Решение. По формулам (3) имеем:
1shsin ii
=
, 1chcos
=
i .
§14. Логарифмы комплексных чисел
Определение 1. Число
w называется (натуральным) логарифмом ком-
плексного числа
z
, если ze
w
=
.
Поскольку показательная функция не принимает нулевого значения ни
при каком комплексном значении показателя степени, нуль не имеет лога-
рифмов и в комплексной плоскости.
Если же
0
≠
z , то в каждой полосе вида
()
(
)
π
π
12Im12
+
≤
<
−
nzn
найдется одно и только одно число w , такое, что
ze
w
=
(см. §9). При этом в
§9 было показано, что число w задается формулой
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
