Составители:
81
Решение. Из примера 1 получим, полагая
0
=
n ,
()
π
i=− 1ln .
()
ii
4
22ln22ln
π
−=−
.
Если b - действительное число,
0>a и 1
≠
a . То имеет место равенство
abb
ea
ln
=
.
В комплексном анализе пользуются аналогичной формулой, но она уже
будет выполнять роль определения.
Определение 2.
abb
ea
Ln
= , где a и b - комплексные числа. (3)
Пример 3. Найти значение
i
1 .
Решение. По формуле (3) имеем:
()()
π
π
kkiiii
eee
221arg1ln1Ln
1
−
+
+
=
=
= ,
k
- целое.
Очевидно, что выражение
i
1 имеет бесконечно много различных зна-
чений. Главное значение равно 1.
Так как
(
)
ϕ
ϕ
irre
i
+= lnln
,
π
ϕ
π
≤
<
−
, то при отображении, задавае-
мом логарифмической функцией zw
ln
=
, комплексная плоскость, разрезан-
ная вдоль отрицательной действительной полуоси, отображается в полосу
π
π
≤<− wIm .
Пример 4. Найти образ фигуры e
r
≤
≤
1 ,
24
π
ϕ
π
≤≤− при отображении
zw
ln= .
Решение. Так как
(
)
ϕ
ϕ
irre
i
+= lnln , то данная область отображается
на прямоугольник, определяемый неравенствами
eu ln1ln ≤
≤
,
24
π
π
≤≤− v
(см. рис. 10).
4
π
−
x
Рис. 10
y
0
1
e
1
-1
ln z
4
π
−
u
v
0
1
1
2
π
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
