Составители:
80
(
)
nzizw
π
2argln
+
+
=
.
В результате получаем, что любое отличное от нуля комплексное число
z имеет бесконечное множество логарифмов.
Это множество обозначают
zLn
, то есть
(
)
nzizz
π
2arglnLn
+
+
=
, n - целое. (1)
Здесь
zln - единственный действительный логарифм положительного
числа
z . В частности, в комплексной области имеют логарифмы и отрица-
тельные числа.
Пример 1. Найти
(
)
1Ln
−
.
Решение. Так как
11
=
− ,
(
)
π
=
−
1arg , то по формуле (1) имеем:
()
(
)
(
)
1221l
n
1L
n
+
=
++=− nini
π
π
π
, n - целое.
Таким образом, получили, что все логарифмы числа
()
1− - мнимые
числа.
Равенство zw
Ln= определяет при каждом отличном от нуля значении
z бесконечное множество значений w , а потому не задает однозначную
функцию комплексного переменного. Чтобы получить однозначную функ-
цию, надо выбрать определенное значение аргумента
zAr
g
при фиксиро-
ванном n , например, z
arg при 0
=
n . Тогда получим функцию от
z
, обозна-
чаемую z
ln . Она определяется равенством:
zizz arglnln
+
=
, (2)
это так называемое главное значение логарифма.
Поскольку функция z
ln является обратной для показательной функ-
ции, то по правилу дифференцирования обратной функции получаем:
()
z
z
1
ln
=
′
.
Эта формула верна всюду, где функция z
ln непрерывна, то есть всюду,
кроме отрицательной полуоси.
Пример 2. Вычислить значения
(
)
1ln
−
,
(
)
i22ln
−
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
