Классические методы математической физики - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
v = ∂u/∂t
v|
t=0
= ϕ(x),
∂v
∂t
t=0
=
∂
2
u
∂t
2
t=0
= a
2
∆u
t=0
= 0
R
3
.
ϕ ϕ
1
ϕ
0
u(x, t) =
1
4πa
∂
∂t
Z
S
at
(x)
ϕ
0
(ξ, η, ζ)
r
dσ
r
+
Z
S
at
(x)
ϕ
1
(ξ, η, ζ)
r
dσ
r
.
u ∈
C
2
(R
4
+
) ∩ C
1
(
R
4
+
)
ϕ
u
u(r, x, t) =
1
4πr
2
Z
S
r
(x)
u dσ
r
.
S
r
(x) x r
u
R
4
+
=
{(x, t) : x ∈ R
3
, 0 ≤ t < ∞}
ϕ
0
∈ C
2
(R
3
), ϕ
1
∈ C
1
(R
3
), (3.3a)
Åñëè, äàëåå, u åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (3.17),
òî â ñèëó îäíîðîäíîñòè (3.1) óíêöèÿ v = ∂u/∂t òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ (3.1), íî óäîâëåòâîðÿåò ñ ó÷åòîì (3.8) íà÷àëüíûì óñëîâèÿì

                        ∂v          ∂ 2u
        v|t=0   = ϕ(x),            = 2           = a2 ∆u       t=0
                                                                     = 0 â R3 .   (3.18)
                        ∂t   t=0    ∂t     t=0

Âçÿâ òåïåðü çà ϕ â ñëó÷àå íà÷àëüíûõ óñëîâèé (3.17) óíêöèþ ϕ1 , à â ñëó-
÷àå íà÷àëüíûõ óñëîâèé (3.18)  óíêöèþ ϕ0 è ñëîæèâ ñîîòâåòñòâóþùèå
ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì èñêîìîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà-
÷àëüíûì óñëîâèÿì (3.2). Ñîãëàñíî ïîñòðîåíèþ îíî îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé:
                                                                
                1 ∂       ϕ0 (ξ, η, ζ)         ϕ1 (ξ, η, ζ)
                       Z                      Z
     u(x, t) =                          dσr +                dσr  . (3.19)
                                                                 
               4πa ∂t           r                    r
                  
                        Sat (x)                      Sat (x)

Ôîðìóëà (3.19) íàçûâàåòñÿ îðìóëîé Êèðõãîà.
   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (3.3). Òîãäà ðåøåíèå u ∈

C 2(R4+ ) ∩ C 1(R4+ ) çàäà÷è Êîøè (3.1), (3.2) ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé Êèðõãîà (3.19).
   Çàìå÷àíèå 3.1.  îñíîâå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3.1 ëåæèò òîò àêò,
÷òî óíêöèÿ (3.4) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
(3.1) äëÿ ëþáîé ãëàäêîé óíêöèè ϕ. Àëüòåðíàòèâíûé ìåòîä äîêàçàòåëü-
ñòâà òåîðåìû 3.1, íàçûâàåìûé ìåòîäîì ñåðè÷åñêèõ ñðåäíèõ, îñíîâàí íà
èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâ òàê íàçûâàåìûõ ñåðè÷åñêèõ ñðåäíèõ îò ðåøåíèÿ
u, îïðåäåëÿåìûõ îðìóëîé:
                                         1
                                             Z
                           u(r, x, t) =        u dσr .
                                        4πr2
                                                 Sr (x)

Çäåñü Sr (x)  ñåðà ñ öåíòðîì â òî÷êå x ðàäèóñà r. Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì
ìåòîäå ìîæíî ïðî÷èòàòü â [6, ñ.66℄, [56, ñ.429℄.
   Çàìå÷àíèå 3.2. Ïðîñòîé àíàëèç îðìóëû (3.19) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé (3.3) âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò ðåøåíèÿ u, âõîäÿùèå
â (3.1), ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû â çàìêíóòîì ïîëóïðîñòðàíñòâå R4+ =
{(x, t) : x ∈ R3 , 0 ≤ t < ∞}. Ïîýòîìó ïðè âûïîëíåíèè (3.3) îðìóëà
Êèðõãîà îïèñûâàåò (ñ ó÷åòîì òåðìèíîëîãèè çàìå÷àíèÿ 1.3) ðåãóëÿðíîå
ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (3.1), (3.2). Íàîáîðîò, åñëè âìåñòî (3.3) âûïîëíÿþòñÿ
áîëåå îáùèå óñëîâèÿ, à èìåííî:

                          ϕ0 ∈ C 2(R3 ), ϕ1 ∈ C 1(R3 ),                           (3.3a)

                                           201

Страницы