Классические методы математической физики - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u ϕ
0
ϕ
1
ϕ
0
ϕ
1
R
2
ϕ
0
ϕ
1
z
z
x = x
′
≡ (x, y, 0)
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
R
3
+
= R
2
× (0, ∞),
u|
t=0
= ϕ
0
(x, y),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x, y)
R
2
.
S
at
(x) ϕ
0
ϕ
1
z
z x S
at
(x)
x
′
= (x, y, 0) R
2
R
2
Σ
at
= Σ
at
(x
′
) x
′
at S
at
(x
′
)
Σ
at
(x
′
)
y = (ξ, η, ζ) S
at
(x
′
) y
′
= (ξ, η, 0)
R
2
dσ
r
S
at
(x
′
) y dξdη
R
2
y
′
dξdη = cosθdσ
r
.
θ y ζ
cosθ =
|y − y
′
|
|y − x
′
|
=
p
|y − x
′
|
2
− |y
′
− x
′
|
2
|y − x
′
|
=
p
a
2
t
2
− (x − ξ)
2
− (y − η)
2
at
.
òî óíêöèÿ u, îïðåäåëÿåìàÿ ïî ϕ0 è ϕ1 îðìóëîé (3.19), ïî-ïðåæíåìó óäî-
âëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3.2), íî óæå íå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
(3.1). (Ïîñëåäíåå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè (3.3à) ïðàâàÿ ÷àñòü
â (3.19) íå îáëàäàåò âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè, âõîäÿùèìè â (3.1)). Îäíàêî
ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. [11, Ÿ13℄), ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé âèäà (3.3à)
è äàæå ãîðàçäî áîëåå îáùèõ óñëîâèé íà ϕ0 è ϕ1 óíêöèÿ (3.19) ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1) â íåêîòîðîì îáîáùåííîì ñìûñëå. Ñ ó÷åòîì ýòî-
ãî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îðìóëà (3.19) îïèñûâàåò ðåãóëÿðíîå ðåøåíèå ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé (3.3) è îáîáùåííîå ðåøåíèå, åñëè âûïîëíÿþòñÿ áîëåå
îáùèå óñëîâèÿ, íàïðèìåð (3.3à).
   3.2. Âîëíîâîå óðàâíåíèå â R . åøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ âîëíî-
                                   2

âîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì ñïóñêà. Ôîðìóëà Ïóàññîíà. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî óíêöèè ϕ0 è ϕ1 â (3.2) íå çàâèñÿò îò z . Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (3.1),
(3.2), îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé (3.19), òàêæå íå áóäåò çàâèñåòü îò z . Â ýòîì
ëåãêî óáåäèòüñÿ, çàïèñàâ èíòåãðàëû â (3.19) â ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îðìóëà Êèðõãîà (3.19) ïðè x = x′ ≡ (x, y, 0) áóäåò
äàâàòü ðåøåíèå äâóìåðíîé çàäà÷è Êîøè
                ∂ 2u
                           2      2
                                       
                           ∂  u  ∂   u
                   2
                     = a2     2
                                + 2 â R3+ = R2 × (0, ∞),             (3.20)
                ∂t         ∂x    ∂y
                                        ∂u
                   u|t=0 = ϕ0 (x, y),             = ϕ1(x, y) â R2 .           (3.21)
                                        ∂t t=0
   Ôîðìóëó (3.19) íå ñîâñåì óäîáíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîé
çàäà÷è (3.20), (3.21), ïîñêîëüêó (3.19) íîñèò ïðîñòðàíñòâåííûé õàðàêòåð
çà ñ÷åò íàëè÷èÿ ñåð Sat (x). Îäíàêî â ñèëó íåçàâèñèìîñòè ϕ0 è ϕ1 îò z åå
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ÷èñòî ïëîñêóþ îðìóëó. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëü-
êó ïðàâàÿ ÷àñòü â (3.19) íå çàâèñèò îò z , òî öåíòð x ñåðû Sat (x) ìîæíî
âçÿòü â òî÷êå x′ = (x, y, 0), ëåæàùåé íà ïëîñêîñòè R2 .  òàêîì ñëó÷àå îáå
÷àñòè ýòîé ñåðû, ëåæàùèå íàä è ïîä ïëîñêîñòüþ R2 , ìîæíî ñïðîåêòè-
ðîâàòü íà ýòó ïëîñêîñòü â âèäå êðóãà Σat = Σat (x′) ñ öåíòðîì â òî÷êå x′
ðàäèóñà at è çàìåíèòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ñåðå Sat (x′ ) èíòåãðèðîâàíèåì
ïî êðóãó Σat (x′).
   Ïóñòü y = (ξ, η, ζ)  ïåðåìåííàÿ òî÷êà ñåðû Sat (x′), y′ = (ξ, η, 0)  ïðî-
åêöèÿ òî÷êè y íà ïëîñêîñòü R2 . Ýëåìåíò dσr ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ñåðû
Sat (x′) ñ öåíòðîì â y è îòâå÷àþùèé åìó ýëåìåíò ïëîùàäè dξdη ïëîñêîñòè
R2 â òî÷êå y′ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
                                   dξdη = cosθdσr .                           (3.22)
Çäåñü θ  óãîë ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðîì y è îñüþ ζ (ñì. ðèñ. 3.2). ßñíî, ÷òî
                       p                             p
                 ′             ′  2      ′    ′  2
           |y − y |      |y − x  |  − |y   − x  |      a2 t2 − (x − ξ)2 − (y − η)2
  cosθ =             =                             =                               .
           |y − x′ |          |y − x′ |                             at
                                                                              (3.23)

                                        202

Страницы