Классические методы математической физики - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

R
3
u D
R
3
u 6= 0
D
ϕ
0
ϕ
1
Ω
Γ ϕ
0
ϕ
1
Ω
suppϕ
0
⊂ Ω, suppϕ
1
⊂ Ω.
ϕ
0
ϕ
1
(Ω, ϕ
0
, ϕ
1
)
R
3
x = (x, y, z)
R
3
Ω d
1
= d
1
(x)
d
2
= d
2
(x)
x Γ
u x t
ϕ
0
ϕ
1
S
at
(x) at x u(x, t) 6= 0
t S
at
(x)
ϕ
0
ϕ
1
Ω
t
1
=
d
1
a
, t
2
=
d
2
a
  Èçëîæåííûé âûøå ìåòîä ðåøåíèÿ ïëîñêîé (è îäíîìåðíîé) çàäà÷è Êî-
øè íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà ñïóñêà. Òàêîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè
ðåøåíèè âîëíîâûõ óðàâíåíèé íà ïëîñêîñòè è ïðÿìîé ìû èñõîäèì èç ðåøå-
íèÿ òðåõìåðíîé çàäà÷è, êàê áû ñïóñêàÿñü ê ìåíüøåìó ÷èñëó ïåðåìåííûõ.
Ìåòîä ñïóñêà ïðèìåíèì íå òîëüêî ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, íî è ê äðóãèì
òèïàì óðàâíåíèé è ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ èç îðìóëû, îïðåäåëÿþùåé
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äëÿ íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è
äëÿ óðàâíåíèÿ ñ ìåíüøèì ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
  3.3. Ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ âîë-
íîâîãî óðàâíåíèÿ â     R3 . Êàê óæå óêàçûâàëîñü â ãë.1, âîëíîâîå óðàâíåíèå
(3.1) ìîäåëèðóåò âîëíîâûå ïðîöåññû è, â ÷àñòíîñòè, ïðîöåññ ðàñïðîñòðà-
íåíèÿ çâóêîâûõ âîëí, ò.å. ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàëûõ ãèäðîäèíàìè÷å-
ñêèõ âîçìóùåíèé â æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé ñðåäå. Äëÿ óêàçàííîãî ïðî-
öåññà óíêöèÿ u â (3.1) èìååò ñìûñë çâóêîâîãî äàâëåíèÿ, à îáëàñòü D
ïðîñòðàíñòâà R3 , ãäå u 6= 0, õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ÷àñòèöû ñðåäû â
D ñîâåðøàþò ìàëûå êîëåáàíèÿ, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ èçè÷åñêèì ìåõàíèçìîì
ïåðåíîñà ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé ñðåäû îò òî÷êè ê òî÷êå.
   Ñ ïîìîùüþ îðìóëû Êèðõãîà (3.19)
(ëèáî Ïóàññîíà (3.24)) ìîæíî âûÿñíèòü è-
çè÷åñêóþ êàðòèíó ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêî-
âûõ âîëí â ïðîñòðàíñòâå (ëèáî íà ïëîñêî-
ñòè). àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé òðåõ èç-
ìåðåíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíûå óíê-
öèè ϕ0 è ϕ1 â (3.2) ñîñðåäîòî÷åíû â íåêî-                èñ.3.3
òîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé
Γ, òî÷íåå, ÷òî èõ íîñèòåëè suppϕ0 , suppϕ1 ñîäåðæàòñÿ â Ω, òàê ÷òî
                         suppϕ0 ⊂ Ω, suppϕ1 ⊂ Ω.                       (3.26)

Èñïîëüçóÿ èçè÷åñêóþ òåðìèíîëîãèþ, íà òàêèå íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ0 è
ϕ1, òî÷íåå íà òðîéêó (Ω, ϕ0, ϕ1), áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà èíèòíîå íà-
÷àëüíîå âîçìóùåíèå ñðåäû â R3 . Ïóñòü x = (x, y, z)  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà
ïðîñòðàíñòâà R3 , ðàñïîëîæåííàÿ âíå Ω. Îáîçíà÷èì ÷åðåç d1 = d1 (x) è
d2 = d2(x) ñîîòâåòñòâåííî íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè
x äî òî÷åê Γ (ñì. ðèñ.3.3).
   Ñîãëàñíî îðìóëå (3.19), çíà÷åíèå ðåøåíèÿ u â òî÷êå x â ìîìåíò t îïðå-
äåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè íà÷àëüíûõ óíêöèé ϕ0 è ϕ1 â òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà
ñåðå Sat (x) ðàäèóñà at ñ öåíòðîì â òî÷êå x. Ïîýòîìó u(x, t) 6= 0 òîëüêî äëÿ
òåõ çíà÷åíèé t, äëÿ êîòîðûõ ñåðà Sat (x) ïåðåñåêàåò íîñèòåëè íà÷àëüíûõ
óíêöèé ϕ0 è ϕ1 , ëåæàùèå â Ω. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëîæèì
                                    d1        d2
                             t1 =      , t2 =                          (3.27)
                                    a         a

                                      204

Страницы