Классические методы математической физики - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y
a x R
3
|x −y|/a |x −y|
a x
|x − y|
a = a(x)
x ∈ R
3
u(x, t) 6= 0
x t
x t D(t)
u u x, y, z
D(t) t
D(t) = {x ∈ R
3
: u(x, t) 6= 0}.
D(t)
M M
D
0
(t) = int{x ∈ R
3
: u(x, t) = 0},
D
′′
(t) = {x ∈ D
0
(t) : u(x, τ) ≡ 0 0 ≤ τ ≤ t} D
′
(t) = D
0
(t)\D
′′
(t).
D
′′
(t)
R
3
u Ω
ϕ
0
ϕ
1
t
D
′
(t)
R
3
u
D(t) D
′
(t) D
′′
(t)
D(t) = supp u(x, t) x ∈ R
3
S
′
(t) = D(t) ∩ D
′
(t) S
′′
(t) = D(t) ∩ D
′′
(t)
D(t) u t
óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå ñîâðåìåííîé èçèêè è ìàòåìàòèêè, à èìåííî:
ïîíÿòèå âîëíû. Ýòî ïîíÿòèå èìååò äâà àñïåêòà: èçè÷åñêèé è ìàòåìàòè-
÷åñêèé.
   Ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîä âîëíîé (â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé ñðå-
äå) ñëåäóåò ïîíèìàòü îñîáîå âîçìóùåííîå ñîñòîÿíèå ñðåäû, ïðè êîòîðîì
âîçìóùåíèå, âîçíèêøåå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå y ñðåäû, ïåðåäàåòñÿ ñ ïîñòî-
ÿííîé ñêîðîñòüþ a â ëþáóþ äðóãóþ òî÷êó x ïðîñòðàíñòâà R3 çà êîíå÷íîå
âðåìÿ, ðàâíîå îòíîøåíèþ |x − y|/a, ãäå |x − y|  ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè
òî÷êàìè.  ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé ñðåäû, êîãäà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîçìóùåíèé a çàâèñèò îò êîîðäèíàò òî÷êè x, ýòî âðåìÿ çaâèñèò íå òîëüêî
îò ðàññòîÿíèÿ |x − y|, íî è îò ñòåïåíè íåîäíîðîäíîñòè ñðåäû, âõîäÿùåé â
ïåðåìåííóþ ñêîðîñòü a = a(x).
    ìàòåìàòè÷åñêîì ïëàíå ïîä âîëíîé â ïðîñòðàíñòâå (â îäíîðîäíîé èçî-
òðîïíîé ñðåäå áåç èñòî÷íèêîâ) áóäåì ïîíèìàòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
(3.1), (3.2) äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (3.1).
   Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíåå îïðåäåëåíèå, äëÿ êàæäîé âîëíû ìîæíî îïðåäåëèòü
ðÿä âàæíûõ õàðàêòåðèñòèê, íàïðèìåð, íîñèòåëü âîëíû, ïåðåäíèé è çàäíèé
ðîíòû âîëíû, îáëàñòè ïîêîÿ. Ââåäåì ýòè ïîíÿòèÿ.
   Ïóñòü x ∈ R3  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Åñëè u(x, t) 6= 0, òî áóäåì ãî-
âîðèòü, ÷òî â òî÷êå x â ìîìåíò t ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ (èëè áåæèò) âîëíà.
Îáúåäèíåíèå âñåõ òàêèõ òî÷åê x â ìîìåíò t îáîçíà÷èì ÷åðåç D(t) è íàçîâåì
îòêðûòûì íîñèòåëåì âîëíû u. Åñëè u  íåïðåðûâíàÿ ïî x, y, z óíêöèÿ,
òî D(t)  îòêðûòîå ìíîæåñòâî, îïðåäåëÿåìîå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t
îðìóëîé
                       D(t) = {x ∈ R3 : u(x, t) 6= 0}.             (3.28)
  Êðîìå ìíîæåñòâà D(t), ðàññìîòðèì åùå îäíî îòêðûòîå ìíîæåñòâî (íè-
æå int M  îçíà÷àåò âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà M ),
                       D0 (t) = int{x ∈ R3 : u(x, t) = 0},                    (3.29)
êîòîðîå â ñâîþ î÷åðåäü ðàçîáüåì íà äâà ïîäìíîæåñòâà
  D′′ (t) = {x ∈ D0 (t) : u(x, τ ) ≡ 0 ïðè 0 ≤ τ ≤ t} è D′ (t) = D0 (t)\D′′(t).
                                                                             (3.30)
Ìíîæåñòâî D (t) èçè÷åñêè ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü
               ′′

òî÷åê â R3 , äî êîòîðûõ âîëíà u, âûçâàííàÿ íà÷àëüíûì âîçìóùåíèåì (Ω,
ϕ0, ϕ1), ê ìîìåíòó t åùå íå äîøëà è, ñëåäîâàòåëüíî, â êîòîðûõ åùå íà-
áëþäàåòñÿ ïîêîé. Àíàëîãè÷íî D′ (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî òî÷åê
ïðîñòðàíñòâà R3 , ÷åðåç êîòîðûå âîëíà u óæå ïðîøëà, è, ñëåäîâàòåëüíî,
â êîòîðûõ óæå íàáëþäàåòñÿ ïîêîé. Íàðÿäó ñ (îòêðûòûìè) ìíîæåñòâàìè
D(t), D′ (t) è D′′ (t) ðàññìîòðèì òðè çàìêíóòûõ ìíîæåñòâà:
   D(t) = supp u(x, t), x ∈ R3 , S ′ (t) = D(t) ∩ D′ (t) è S ′′ (t) = D(t) ∩ D′′ (t).
Ìíîæåñòâî D(t) èìååò ñìûñë çàìêíóòîãî íîñèòåëÿ âîëíû u â ìîìåíò t:

                                        206

Страницы