Классические методы математической физики - 207 стр.

ìíîæåñòâî S ′′ (t), èìåþùåå ñìûñë âíåøíåé ãðàíèöû íîñèòåëÿ D(t) âîëíû
u, íàçîâåì ïåðåäíèì ðîíòîì âîëíû, íàêîíåö, ìíîæåñòâî S ′ (t), èìåþùåå
ñìûñë âíóòðåííåé ãðàíèöû íîñèòåëÿ D(t), íàçîâåì çàäíèì ðîíòîì âîë-
íû.
   Îñòàëîñü ïîíÿòü, êàê ïîñòðîèòü ãåîìåòðè÷åñêè ìíîæåñòâà D(t), S ′ (t)
è S ′′ (t) â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t. Ñ ýòîé öåëüþ çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî
ïðåäûäóùåìó àíàëèçó êàæäàÿ òî÷êà x ∈ D(t) õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî
ñåðà Sat (x) ïåðåñåêàåò îáëàñòü Ω. Íî òàêèì ñâîéñòâîì áóäóò îáëàäàòü
âñå òî÷êè ñåð Sat (y), ãäå y  ïåðåìåííàÿ òî÷êà îáëàñòè Ω. Åñëè ãðàíèöà
Γ îáëàñòè Ω äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ, òî ñóùåñòâóþò äâå îãèáàþùèå óêàçàííî-
ãî ñåìåéñòâà ñåð: âíóòðåííÿÿ è âíåøíÿÿ. Âíåøíÿÿ îãèáàþùàÿ îòäåëÿåò
òî÷êè ìíîæåñòâà D′′ (t), äî êîòîðûõ âîëíà u åùå íå äîøëà, îò òî÷åê îòêðû-
òîãî íîñèòåëÿ D(t) âîëíû u, è, ñëåäîâàòåëüíî, óêàçàííàÿ îãèáàþùàÿ ñîâ-
ïàäåò ñ ïåðåäíèì ðîíòîì âîëíû. Âíóòðåííÿÿ îãèáàþùàÿ îòäåëÿåò òî÷êè
îòêðûòîãî íîñèòåëÿ D(t) âîëíû u oò òî÷åê ìíîæåñòâà D′ (t), ÷åðåç êîòî-
ðûå âîëíà, âûçâàííàÿ íà÷àëüíûì âîçìóùåíèåì (Ω, ϕ0, ϕ1 ), óæå ïðîøëà,
è, ñëåäîâàòåëüíî, â êîòîðûõ âíîâü âîçíèêëî ñîñòîÿíèå ïîêîÿ, ïîýòîìó îíà
ñîâïàäàåò ñ çàäíèì ðîíòîì âîëíû.
   åçþìèðóÿ, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò t ïðîñòðàíñòâî R3
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ ïÿòè íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíî-
æåñòâ:
                   R3 = D′ (t) ∪ S ′ (t) ∪ D(t) ∪ S ′′ (t) ∪ D′′ (t). (3.31)
Çäåñü, ñîîòâåòñòâåííî, D′′ (t)  ìíîæåñòâî òî÷åê, äî êîòîðûõ âîëíà u åùå
íå äîøëà â ìîìåíò t, S ′′ (t)  ïåðåäíèé ðîíò âîëíû, D(t)  îòêðûòûé
íîñèòåëü âîëíû, S ′ (t)  çàäíèé ðîíò âîëíû, íàêîíåö, D′ (t)  ìíîæåñòâî
òî÷åê, ÷åðåç êîòîðûå âîëíà óæå ïðîøëà. Íåêîòîðûå èç ìíîæåñòâ â (3.31)
ìîãóò áûòü ïóñòûìè, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî D′ (t) è çàäíèé ðîíò âîëíû
S ′ (t) ïðè ìàëûõ t. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé ñàì âîëíîâîé
ïðîöåññ ìîæíî òðàêòîâàòü ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ êàê ïðîöåññ
èçìåíåíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âñåõ óêàçàííûõ â (3.31) ìíîæåñòâ.
     Îñíîâûâàÿñü íà ïðèâåäåííîì ìàòåìàòè÷åñêîì âûâîäå, ìîæíî ñîðìó-
ëèðîâàòü ñëåäóþùèé èçè÷åñêèé âûâîä î õàðàêòåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ (çâó-
êîâûõ) âîëí â ïðîñòðàíñòâå R3 , âûçâàííûõ íà÷àëüíûì âîçìóùåíèåì, à
èìåííî: íàëè÷èå èíèòíîãî íà÷àëüíîãî âîçìóùåíèÿ (Ω, ϕ0, ϕ1) â îäíîðîä-
íîé ñðåäå ïðîñòðàíñòâà R3 ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ â ïðîñòðàíñòâå R3
âîëíû, ò.å.îñîáîãî âîçìóùåííîãî ñîñòîÿíèÿ ñðåäû, ïðè êîòîðîì íà÷àëüíîå
âîçìóùåíèå îò êàæäîé òî÷êè y íîñèòåëÿ íà÷àëüíûõ óíêöèé ïåðåäàåòñÿ â
ëþáóþ äðóãóþ òî÷êó x ïðîñòðàíñòâà R3 ÷åðåç êîíå÷íîå âðåìÿ t = |x−y|/a.
Ïðè ýòîì â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âîëíà èìååò ÷åòêî âûðàæåííûé ïå-
ðåäíèé ðîíò, à íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî âðåìåíè, çàâèñÿùåãî îò ðàçìåðîâ
îáëàñòè Ω, è çàäíèé ðîíò.


                                    207