Классические методы математической физики - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(0, ∞) [0, t
1
)
[t
1
, t
2
] (t
2
, ∞) x
0 ≤ t < t
1
t S
at
(x)
Ω ϕ
0
|
S
at
= ϕ
1
|
S
at
= 0
u(x, t) ≡ 0
(Ω, ϕ
0
, ϕ
1
)
t = 0 x)
t
1
≤ t ≤ t
2
t
t
1
= d
1
/a t
2
= d
2
/a S
at
(x)
Ω t = t
1
u(x, t) 6≡ 0 t ∈ (t
1
, t
2
) x
t
2
< t < ∞ t at S
at
(x) d
2
S
at
Ω
Ω S
at
(x)
u(x, t) ≡ 0
x
(Ω, ϕ
0
, ϕ
1
)
Ω R
3
a
x 6∈ Ω Ω
x t = t
1
t
1
t
1
x y ∈ Ω
Ω d
1
x
t > t
1
x y ∈ Ω
x at > d
1
t = t
2
t
2
x y ∈ Ω
d
2
x
u x
x
t [t
1
, t
2
] u
x t ∈ (t
1
, t
2
)
ϕ
0
ϕ
1
Γ Ω
R
3
x ∈ Ω t
1
= 0
t
2
= d
2
/a d
2
x y ∈ Ω
è ðàçîáüåì âåñü âðåìåííîé èíòåðâàë (0, ∞) íà òðè ïîäèíòåðâàëà [0, t1 ),
[t1, t2 ] è (t2 , ∞). Óêàçàííîå ðàçáèåíèå, åñòåñòâåííî, çàâèñèò îò òî÷êè x.
(Îíî íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ðàçáèåíèÿ, èñïîëüçóåìîãî ⠟1.)  ñîîò-
âåòñòâèè ñ ýòèì ðàçáèåíèåì ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ.
    1. 0 ≤ t < t1 . Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé t ñåðà Sat (x) åùå íå èìååò îáùèõ òî÷åê
ñ Ω. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ0 |Sat = ϕ1 |Sat = 0. Ïîýòîìó èç îðìóëû (3.19) ñëåäóåò,
÷òî u(x, t) ≡ 0. (Íèæå ýòîò àêò èçè÷åñêè áóäåò ïðîèíòåðïðåòèðîâàí
òàê, ÷òî èíèòíîå âîçìóùåíèå (Ω, ϕ0, ϕ1 ), âîçíèêøåå â íà÷àëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè t = 0, åùå íå äîøëî äî òî÷êè x).
    2. t1 ≤ t ≤ t2 . Äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé âðåìåíè t, ò.å. íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà
t1 = d1 /a è äî ìîìåíòà t2 = d2/a, ñåðà Sat (x) áóäåò ïåðåñåêàòü îáëàñòü
Ω, ëèáî êàñàòüñÿ åå, íàïðèìåð, ïðè t = t1 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî èç îðìóëû
(3.19) ñëåäóåò, ÷òî u(x, t) 6≡ 0 äëÿ t ∈ (t1 , t2 ), ò.å. ÷òî â òî÷êå x èìååòñÿ
âîçìóùåíèå.
    3. t2 < t < ∞. Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé t ðàäèóñ at ñåðû Sat (x) áîëüøå d2 ,
è, ñëåäîâàòåëüíî, ñåðà Sat óæå íå áóäåò èìåòü îáùèõ òî÷åê ñ îáëàñòüþ Ω
(âñÿ îáëàñòü Ω ëåæèò âíóòðè Sat (x)). Ââèäó ýòîãî ìû ñíîâà ïîëó÷èì, êàê
â ñëó÷àå 1, ÷òî u(x, t) ≡ 0. Îäíàêî, ýòîò àêò ñëåäóåò èíòåðïðåòèðîâàòü
òàê, ÷òî íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå óæå ïðîøëî ÷åðåç òî÷êó x.
    Íà îñíîâàíèè ïðèâåäåííîãî àíàëèçà ìîæíî ñäåëàòü âàæíûé èçè÷åñêèé
âûâîä î òîì, ÷òî àêóñòè÷åñêîå âîçìóùåíèå (Ω, ϕ0, ϕ1 ) ñðåäû, âîçíèêøåå â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ïðîñòðàíñòâà R3 , ðàñ-
ïðîñòðàíÿåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ïðîñòðàíñòâà ñ îäíîé è òîé æå ñêî-
ðîñòüþ, â òî÷íîñòè ðàâíîé êîýèöèåíòó a óðàâíåíèÿ (3.1). Ïîýòîìó, åñëè
âçÿòü ëþáóþ òî÷êó x 6∈ Ω, òî íà÷àëüíîå âîçìóùåíèå, âîçíèêøåå â Ω, ïðèäåò
â òî÷êó x â ìîìåíò t = t1 , ãäå ìîìåíò t1 îïðåäåëåí â (3.27). (Áîëåå òî÷íî:
â ìîìåíò t1 â òî÷êó x ïðèäóò âîçìóùåíèÿ èç òî÷åê y ∈ Ω, ðàñïîëîæåííûõ
íà áëèæàéøåì äëÿ òî÷åê Ω ðàññòîÿíèè d1 îò x).  ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû
t > t1 â òî÷êó x áóäóò ïðèõîäèòü âîçìóùåíèÿ èç òî÷åê y ∈ Ω, ðàñïîëîæåí-
íûõ îò òî÷êè x íà ðàññòîÿíèè, ðàâíîì at > d1 . Íàêîíåö, â ìîìåíò t = t2 ,
ãäå t2 îïðåäåëåí â (3.27), â òî÷êó x ïðèäóò âîçìóùåíèÿ èç òî÷åê y ∈ Ω,
ðàñïîëîæåííûõ íà ìàêñèìàëüíîì ðàññòîÿíèè d2 îò x. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ðå-
øåíèå  çâóêîâîå äàâëåíèå u â òî÷êå x, ìîæåò áûòü îòëè÷íî îò íóëÿ, è,
ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå x ìîæåò íàáëþäàòüñÿ âîçìóùåííîå ñîñòîÿíèå ëèøü
â ìîìåíòû âðåìåíè t èç èíòåðâàëà [t1 , t2 ]. Ôàêòè÷åñêè æå ðåøåíèå u äîëæ-
íî áûòü îòëè÷íî îò íóëÿ â òî÷êå x ëèøü â ìîìåíòû âðåìåíè t ∈ (t1 , t2 ).
Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ0
è ϕ1 îáðàùàþòñÿ â íóëü íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω â ñèëó èõ íåïðåðûâíîñòè â
R3 , âûòåêàþùåé èç (3.3) è óñëîâèé (3.26). Àíàëîãè÷íûé âûâîä ñïðàâåäëèâ
è äëÿ òî÷åê x ∈ Ω, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî äëÿ âñåõ òàêèõ òî÷åê t1 = 0,
à t2 = d2 /a, ãäå d2  ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå îò x äî òî÷åê y ∈ Ω.
    Îñíîâûâàÿñü íà ïðèâåäåííûõ âûâîäàõ, òåïåðü ìû â ñîñòîÿíèè ââåñòè

                                      205

Страницы