Классические методы математической физики - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Σ
at
(x
′
)
S
at
(x
′
)
u(x
′
, t) = u(x, y, t) =
1
2πa
∂
∂t
Z
Σ
at
(x
′
)
ϕ
0
(ξ, η)dξdη
p
(at)
2
− (x − ξ)
2
− (y − η)
2
+
+
Z
Σ
at
(x
′
)
ϕ
1
(ξ, η)dξdη
p
(at)
2
− (x − ξ)
2
− (y − η)
2
.
Σ
at
(x
′
) at x
′
= (x, y)
ϕ
0
∈ C
3
(R
2
) ϕ
1
∈ C
2
(R
2
)
u ∈ C
2
(R
3
+
)
ϕ
0
ϕ
1
z y
u(x, t) = u(x, t) =
ϕ
0
(x + at) + ϕ
0
(x − at)
2
+
1
2a
x+at
Z
x−at
ϕ
1
(ξ)dξ,
R
R
4
+
R
3
+
|˜ϕ
0
(x) − ϕ
0
(x)| < δ, |˜ϕ
1
(x) − ϕ
1
(x)| < δ ∀x ∈ R
3
( R
2
),
˜ϕ
0
˜ϕ
1
|∇˜ϕ
0
(x) − ∇ϕ
0
(x)| < δ
u
ϕ
0
ϕ
1
ϕ
0
Àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ñïðàâåäëèâû è äëÿ íèæíåé ïîëóñåðû.
  Ïîäñòàâëÿÿ (3.22), (3.23) â (3.19), è ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà êðóã Σat(x′ ) ïðîåê-
òèðóþòñÿ äâå ïîëóñåðû ñåðû Sat (x′ ), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îðìóëå,
ðåøàþùåé ïëîñêóþ çàäà÷ó (3.20), (3.21):
                                
                                
                             1 ∂                 ϕ0(ξ, η)dξdη
                                     Z
       ′
    u(x , t) = u(x, y, t) =               p                             +
                            2πa 
                                 ∂t        (at)2 − (x − ξ)2 − (y − η)2
                                          Σat (x′ )
                                                               
                                                               
                                          ϕ1(ξ, η)dξdη
                       Z                                       
                  +             p                                 .            (3.24)
                                    (at)2 − (x − ξ)2 − (y − η)2 
                                                                
                    Σat (x′ )

Ôîðìóëà (3.24) íîñèò íàçâàíèå îðìóëû Ïóàññîíà. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî îð-
ìóëà (3.24) ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé â òîì ñìûñëå, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â (3.24)
ïðîèçâîäèòñÿ ïî êðóãó Σat(x′ ) ðàäèóñà at ñ öåíòðîì â òî÷êå x′ = (x, y).
Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 3.2) â âèäå òåî-
ðåìû.
   Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü ϕ0 ∈ C (R ), ϕ1 ∈ C (R ). Òîãäà ðåãóëÿðíîå ðå-
                                  3  2           2  2

øåíèå u ∈ C 2 (R3+ ) çàäà÷è Êîøè (3.20), (3.21) ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé Ïóàññîíà (3.24).
   Çàìå÷àíèå 3.3. Åñëè óíêöèè ϕ0 è ϕ1 â (3.2) íå çàâèñÿò íå òîëüêî
îò z , íî è îò y , òî àíàëîãè÷íûå ïðåäûäóùåìó ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê
îðìóëå
                                                              x+at
                        ϕ0(x + at) + ϕ0(x − at)    1
                                                              Z
    u(x, t) = u(x, t) =                         +                   ϕ1(ξ)dξ,   (3.25)
                                   2              2a
                                                             x−at

ðåøàþùåé çàäà÷ó Êîøè â R (ýòà îðìóëà áûëà ïîëó÷åíà ⠟1 äðóãèì
ñïîñîáîì).
   Çàìå÷àíèå 3.4. Äëÿ çàäà÷è Êîøè â R+ è R+ ñïðàâåäëèâû òåîðåìû
                                          4     3

åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì. Îíè ìîãóò áûòü
äîêàçàíû ìåòîäàìè, àíàëîãè÷íûìè òåì, êîòîðûå áûëè ïðèìåíåíû äëÿ îä-
íîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Ê âîïðîñó î åäèíñòâåííîñòè çàäà÷è Êîøè
ìû âåðíåìñÿ ⠟5. ×òî êàñàåòñÿ óñòîé÷èâîñòè, òî îòìåòèì, ÷òî äëÿ óñòîé-
÷èâîñòè ðåøåíèé îáåèõ çàäà÷ íå äîñòàòî÷íî óñëîâèé âèäà (ñì. Ÿ1)
      |ϕ̃0 (x) − ϕ0(x)| < δ, |ϕ̃1 (x) − ϕ1(x)| < δ ∀x ∈ R3 ( ëèáî R2 ),
ãäå ϕ̃0 è ϕ̃1  âîçìóùåííûå íà÷àëüíûå óíêöèè. Íóæíî åùå ïîòðåáîâàòü
äîïîëíèòåëüíî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå |∇ϕ̃0 (x) − ∇ϕ0 (x)| < δ . Ïî-
ñëåäíåå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñîãëàñíî (3.19), (3.24) ðåøåíèå u çàâèñèò íå
òîëüêî îò óíêöèé ϕ0 è ϕ1 , íî è îò ïðîèçâîäíûõ óíêöèè ϕ0 .

                                             203

Страницы