Классические методы математической физики - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t
∂Σ
at
(y)
at y Ω
(Ω, ϕ
0
, ϕ
1
) R
2
x ∈ R
2
ϕ
0
ϕ
1
z
ϕ
0
ϕ
1
Γ z
S
at
(x
′
) t > t
1
t > t
1
z
Ω B
R
R t > 0
R+at
R+at
D(t) u t = 0 t
1
= R/a
t
2
= 2R/a
D(t
2
)
3R
ϕ
0
ϕ
1
x
1
x
2
1
2
[ϕ
0
(x − at) + ϕ
0
(x + at)]
1
2a
x+at
Z
x−at
ϕ
1
(ξ)dξ
ïðèâîäèò ê ðàñïðîñòðàíåíèþ íà ïëîñêîñòè âîëíû, êîòîðàÿ â êàæäûé ìî-
ìåíò âðåìåíè t èìååò ÷åòêî âûðàæåííûé ïåðåäíèé ðîíò, ïðåäñòàâëÿþùèé
ñîáîé íåêîòîðóþ çàìêíóòóþ êðèâóþ  îãèáàþùóþ îêðóæíîñòåé ∂Σat(y)
ðàäèóñà at ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ y îáëàñòè Ω, íî, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ òðåõ
èçìåðåíèé, íå èìååò çàäíåãî ðîíòà. Äðóãèìè ñëîâàìè, íà÷àëüíîå âîçìó-
ùåíèå (Ω, ϕ0, ϕ1), ëîêàëèçîâàííîå íà ïëîñêîñòè R2 , âûçûâàåò â êàæäîé
òî÷êå x ∈ R2 âîçìóùåíèå, êîòîðîå óæå íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçîâàííûì ïî
âðåìåíè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà ïëîñêîñòè ïðèíöèï þéãåíñà íå âûïîëíÿåò-
ñÿ.
    Ïðè÷èíó ýòîãî ëåãêî ïîíÿòü, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ïëîñ-
êàÿ çàäà÷à (3.20), (3.21) àêòè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåõìåðíóþ çàäà-
÷ó (3.1), (3.2) ïðè óñëîâèè, ÷òî óíêöèè ϕ0 è ϕ1 íå çàâèñÿò îò z , äëÿ
êîòîðîé íîñèòåëè óíêöèé ϕ0 è ϕ1 ðàñïîëîæåíû â öèëèíäðå ñ íàïðàâëÿ-
þùåé Γ è îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè îñè z . Ïîñêîëüêó ñåðè÷åñêàÿ
ïîâåðõíîñòü Sat (x′ ) áóäåò ïåðåñåêàòü ýòîò öèëèíäð ïðè âñåõ t > t1 , òî îáà
èíòåãðàëà â èñõîäíîé òðåõìåðíîé îðìóëå Êèðõãîà (3.19) áóäóò, âîîáùå
ãîâîðÿ, îòëè÷íû îò íóëÿ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé t > t1 . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî
ïðè òðåõìåðíîé èíòåðïðåòàöèè çàäà÷è (3.20), (3.21) ïåðåäíèé ðîíò, ò.å.
âíåøíÿÿ ãðàíèöà íîñèòåëÿ ðåøåíèÿ, èìååò âèä öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõ-
íîñòè ñ ïàðàëëåëüíûìè îñè z îáðàçóþùèìè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî íà óíêöèþ
(3.24), ÿâëÿþùóþñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (3.20), (3.21), ÷àñòî ññûëàþòñÿ êàê
íà öèëèíäðè÷åñêóþ âîëíó (ñì. îá ýòîì ïîäðîáíåå ⠟2).
    Ïðèìåð 2. Ïóñòü îáëàñòü Ω â (3.26) åñòü êðóã BR ñ öåíòðîì â íà÷à-
ëå êîîðäèíàò ðàäèóñà R. Òîãäà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t > 0 ïåðåäíèé
ðîíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæíîñòü ðàäèóñà R+at, íîñèòåëü âîëíû èìå-
åò âèä ñîîòâåòñòâóþùåãî êðóãà ðàäèóñà R+at, à çàäíèé ðîíò îòñóòñòâóåò.
 åîìåòðèÿ íîñèòåëÿ D(t) òàêîé âîëíû u â ìîìåíòû t = 0 è t1 = R/a àíàëî-
ãè÷íà ãåîìåòðèè íîñèòåëÿ òðåõìåðíîé âîëíû íà ðèñ.3.4à, à ïðè t2 = 2R/a
â îòëè÷èå îò òðåõìåðíîãî ñëó÷àÿ, íîñèòåëü D(t2 ) èìååò âèä êðóãà ðàäèóñà
3R, óêàçàííîãî â âèäå çàòåìíåííîé îáëàñòè íà ðèñ.3.4.á.
    Çàìå÷àíèå 3.2. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ îð-
ìóëû Äàëàìáåðà (3.25) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íà÷àëüíûå óíêöèè ϕ0 è ϕ1
îòëè÷íû îò íóëÿ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå (x1 ,x2 ) (ñì. òàêæå Ÿ1). Íåòðóäíî
óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ñëàãàåìîãî
                         1
                           [ϕ0(x − at) + ϕ0(x + at)]
                         2
îðìóëû (3.25) èìååò ìåñòî ïðèíöèï þéãåíñà, à âòîðîå ñëàãàåìîå
                                    x+at
                               1
                                    Z
                                          ϕ1(ξ)dξ
                              2a
                                   x−at

                                      210

Страницы