Классические методы математической физики - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t → ∞
R
3
R
3
u ∈
C
2
(R
4
+
) ∩ C
1
(R
4
+
)
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∆u + f
R
4
+
≡ R
3
× (0, ∞),
u|
t=0
= ϕ
0
(x),
∂u
∂t
t=0
= ϕ
1
(x)
R
3
.
u|
t=0
= 0,
∂u
∂t
t=0
= 0
R
3
,
v
x, t τ
∂
2
v
∂t
2
= a
2
∆v
R
3
× (τ, ∞)
t = τ
v|
t=τ
= 0,
∂v
∂t
t=τ
= f(x, τ)
R
3
.
t t
1
= t − τ
w(x, t
1
, τ) ≡ v(x, t
1
+ τ, τ)
∂
2
w
∂t
2
1
= a
2
∆w
R
3
× (0, ∞)
âåäåò ñåáÿ àíàëîãè÷íî îðìóëå (3.24), ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî îíî íå
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè t → ∞.

     Ÿ4. Çàäà÷à Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî âîëíîâîãî
                      óðàâíåíèÿ

  4.1. Çàäà÷à Êîøè â         R3 . àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íåîäíîðîäíîãî
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â R3 , çàêëþ÷àþùóþñÿ â íàõîæäåíèè óíêöèè u ∈
C 2(R4+ ) ∩ C 1(R4+ ) èç óñëîâèé

                 ∂ 2u
                    2
                      = a2 ∆u + f â R4+ ≡ R3 × (0, ∞),                    (4.1)
                 ∂t
                                    ∂u
                u|t=0 = ϕ0(x),                  = ϕ1(x)       â    R3 .   (4.2)
                                    ∂t    t=0
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.1), (4.2) äîñòàòî÷íî íàéòè ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (4.1) ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ

                                    ∂u
                     u|t=0 = 0,                 =0   â    R3 ,            (4.3)
                                    ∂t    t=0

òàê êàê, äîáàâëÿÿ ê ýòîìó ðåøåíèþ ðåøåíèå çàäà÷è (3.1), (3.2) äëÿ îä-
íîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿåìîå îðìóëîé Êèðõãîà (3.19),
ìû ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (4.1) èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è
(4.1), (4.2).
   Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå (ñì. Ÿ1), áóäåì îòûñêèâàòü ðåøåíèå çàäà÷è
Êîøè (4.1), (4.3) ÷åðåç ðåøåíèå àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî
îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì óíêöèþ v
ïåðåìåííûõ x, t è ïàðàìåòðà τ , óäîâëåòâîðÿþùóþ îäíîðîäíîìó âîëíîâîìó
óðàâíåíèþ
                       ∂ 2v
                          2
                            = a2 ∆v â R3 × (τ, ∞)                  (4.4)
                        ∂t
è ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðè t = τ :
                               ∂v
                  v|t=τ = 0,              = f (x, τ )     â       R3 .    (4.5)
                               ∂t   t=τ

Ââîäÿ âìåñòî t íîâóþ ïåðåìåííóþ t1 = t − τ , çàìå÷àåì, ÷òî óíêöèÿ
w(x, t1, τ ) ≡ v(x, t1 + τ, τ ) óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó âîëíîâîìó óðàâ-
íåíèþ
                        ∂ 2w
                           2  = a2 ∆w â R3 × (0, ∞)                  (4.6)
                        ∂t1


                                      211

Страницы