Классические методы математической физики - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

0.15 C ≈
0.15
R
S = πR
2
Re
F
r
=
Cπ
2
R
2
ρv
2
.
P
P P = mg =
(4π/3)R
3
ρ
0
g
ρ
0
= 2.3·10
3
3
v
2
lg F
r
/P
F
r
P
≈
CπR
2
ρlg/2
4πR
3
ρ
0
g/3
=
3
8
·
Cρl
ρ
0
R
.
l = 100 R = 0, 1 C ≈ 0.15 F
r
/P ≈ 0.03
∆l
l
(F
r
/P << 1)
∆l/l F
r
/P
∆l/l ≈ 3%
∆l = (2 − 3)
ñâîåãî àðãóìåíòà, è åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì è ðàâíûì 0.15: C ≈
0.15.
   Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îðìà êàìíÿ áëèçêà ê îðìå øàðà ðàäèóñà R, è ïîëà-
ãàÿ â (2.9) S = πR2 , ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ïðîñòîé îðìóëå äëÿ ìîäóëÿ
ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ øàðà â óêàçàííîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ÷èñëà Re:
                                     Cπ 2 2
                              Fr =      R ρv .                        (2.11)
                                      2
Èç ýòîé îðìóëû, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò, ÷òî çàâèñèìîñòü ñèëû ëîáîâîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ îò ñêîðîñòè íîñèò êâàäðàòè÷íûé õàðàêòåð.
    Äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü âëèÿíèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà íà õàðàêòåð
äâèæåíèÿ êàìíÿ, ñðàâíèì åãî ñ îñíîâíîé ñèëîé â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å
 ñèëîé òÿæåñòè P , äåéñòâóþùåé âåðòèêàëüíî âíèç.  ñëó÷àå, êîãäà îðìà
êàìíÿ ÿâëÿåòñÿ ñåðè÷åñêîé, ñèëà P îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé P = mg =
(4π/3)R3ρ0 g . Çäåñü ρ0 = 2.3 ·103 êã/ì3  ïëîòíîñòü êàìíÿ. Çàìåíèì â (2.11)
v 2 íà lg (ïðèáëèæåííî) è ñîñòàâèì îòíîøåíèå Fr /P . Ïîëó÷èì
                       Fr   CπR2 ρlg/2 3 Cρl
                          ≈             = ·     .
                       P    4πR3 ρ0 g/3  8 ρ0 R
Ïðè l = 100 ì, R = 0, 1 ì è C ≈ 0.15 ïîëó÷àåì Fr /P ≈ 0.03.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆l àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü, êîòîðóþ ìû äîïóñêà-
åì â îïðåäåëåíèè äàëüíîñòè áðîñêà l, åñëè ïðåíåáðå÷ü ñîïðîòèâëåíèåì
âîçäóõà. Ïðè ìàëîì ñîïðîòèâëåíèè âîçäóõà (Fr /P << 1) îòíîñèòåëüíóþ
ïîãðåøíîñòü ∆l/l ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé Fr /P ñ êîýèöèåí-
òîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ïîðÿäêà åäèíèöû, ò. å. â ðàññìàòðèâàåìîì äèàïà-
çîíå èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è ïîëó÷àåì ∆l/l ≈ 3% è, ñëåäîâàòåëüíî,
∆l = (2 − 3) ì. Åñëè íå òðåáóåòñÿ âûñîêîé òî÷íîñòè, òî òàêàÿ îøèáêà äî-
ïóñòèìà, òàê ÷òî ïðèìåíåíèå ìîäåëè, ïîëó÷åííîé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
1)4), îïðàâäàíî.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå åå ñëåäóåò çàìåíèòü áîëåå ñëîæíîé
ìîäåëüþ, ó÷èòûâàþùåé òðåíèå âîçäóõà.
  2.3. Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íåáåñíîé ìåõàíèêè. Çàêî-
íû Êåïëåðà êàê ñëåäñòâèå çàêîíà òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà.          Â ðàññìîò-
ðåííîé â ï. 2.1 çàäà÷å âåêòîðíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
ìîæíî áûëî ðàçäåëèòü íà îòäåëüíûå ñêàëÿðíûå óðàâíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì,
êàæäàÿ êîîðäèíàòà óäîâëåòâîðÿëà ñâîåìó îòäåëüíîìó äèåðåíöèàëüíî-
ìó óðàâíåíèþ, ðåøàÿ êîòîðîå ìû îïðåäåëèëè ýòó êîîðäèíàòó êàê óíêöèþ
âðåìåíè. Òåïåðü æå ïîñòàâèì è ðåøèì çàäà÷ó äðóãîãî òèïà, êîãäà ñèñòåìó
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ óæå íå óäàåòñÿ ðàçáèòü ïðîñòûì ïóòåì íà îòäåëüíûå
óðàâíåíèÿ äëÿ êàæäîé èç èñêîìûõ óíêöèé, è èíòåãðèðîâàíèå òàêîé ñè-
ñòåìû òðåáóåò áîëåå ñëîæíûõ âû÷èñëåíèé.  êà÷åñòâå óêàçàííîé çàäà÷è
ðàññìîòðèì àêòóàëüíóþ äëÿ ÷åëîâå÷åñòâà çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèè

                                      22

Страницы