Классические методы математической физики - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

1
2
m( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
) −
γµm
r
= C.
C
(1/2) m( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
)
−γµm/r
y ˙z − z ˙y = C
1
, z ˙x − x ˙z = C
2
, x ˙y −y ˙x = C
3
.
C
1
, C
2
C
3
y z y¨z − z¨y = 0
d/dt(y ˙z −z ˙y) = 0 =⇒ y ˙z −z ˙y = C
1
t = 0
xy
z(0) = 0, ˙z(0) = 0
(y ˙z − z ˙y)|
t=0
= 0 (z ˙x − x ˙z)|
t=0
= 0
y ˙z − z ˙y = 0, z ˙x − x ˙z = 0, x ˙y −y ˙x = k ≡ const ∀t.
z = 0
z(0) = 0 x(0) 6= 0 y( 0) 6= 0
x(0) 6= 0 z ˙x − x ˙z = 0
d
dt
z
x
=
˙zx − z ˙x
x
2
= 0 =⇒ z = ax, a = const.
t = 0 0 = z|
t=0
= ax|
t=0
= ax(0) =⇒ a = 0 =⇒ z = 0
z(t) ≡ 0
1
2
m
˙x
2
+ ˙y
2
−
γµm
r
= C, x ˙y −y ˙x = k, r =
p
x
2
+ y
2
.
Èíòåãðèðóÿ (2.15), áóäåì èìåòü
                      1                          γµm
                        m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) −       = C.               (2.16)
                      2                           r
Çäåñü C  íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ, íàïðèìåð, èç íà÷àëüíûõ
óñëîâèé. Ëåâàÿ ÷àñòü (2.16) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ:
ïåðâîå ñëàãàåìîå (1/2)m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) â òî÷íîñòè ðàâíî êèíåòè÷åñêîé ýíåð-
ãèè äâèæóùåéñÿ òî÷êè, âòîðîå ñëàãàåìîå −γµm/r èìååò ñìûñë ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèè. Áîëåå ïîäðîáíî î èçè÷åñêîì ñîäåðæàíèè ýòèõ ïîíÿòèé
ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â [30℄. àâåíñòâî (2.16) âûðàæàåò çàêîí ñî-
õðàíåíèÿ ýíåðãèè, à èìåííî: ïðè äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â öåí-
òðàëüíîì ïîëå ñèë ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ ñóììå êèíåòè÷åñêîé è ïîòåí-
öèàëüíîé ýíåðãèé, îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
   Êðîìå (2.16), èç óðàâíåíèé (2.14) ìîæíî âûâåñòè åùå òðè óðàâíåíèÿ
1-ãî ïîðÿäêà. Îíè èìåþò âèä
                y ż − z ẏ = C1, z ẋ − xż = C2, xẏ − y ẋ = C3.       (2.17)
Çäåñü C1 , C2 è C3  ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Äëÿ âûâîäà, íàïðèìåð,
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (2.17) óìíîæèì òðåòüå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.14) íà
y , âòîðîå  íà z è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî. Ïîëó÷èì yz̈ − z ÿ = 0, èëè
d/dt(y ż − z ẏ) = 0 =⇒ y ż − z ẏ = C1 . Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ñèñòåìó êîîðäè-
íàò ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû ïðè t = 0 ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íàõîäèëàñü
â ïëîñêîñòè xy è ÷òîáû åå íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ëåæàëà â òîé æå ïëîñêîñòè,
ò. å. ÷òîáû â äîïîëíåíèå ê 1)3) âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ
    4) z(0) = 0, ż(0) = 0.
 òàêîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü (y ż − z ẏ)|t=0 = 0, (z ẋ − xż)|t=0 = 0. Ñ ó÷åòîì
ýòîãî è (2.17) ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì
            y ż − z ẏ = 0, z ẋ − xż = 0, xẏ − y ẋ = k ≡ const ∀t.   (2.18)
   Èç óðàâíåíèé (2.18) è ïðåäïîëîæåíèÿ 4) âûòåêàåò, ÷òî ïðîöåññ äâè-
æåíèÿ òî÷êè ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè z = 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó
z(0) = 0, òî â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ 2) ëèáî x(0) 6= 0, ëèáî y(0) 6= 0. Ïóñòü,
íàïðèìåð, x(0) 6= 0. Òîãäà èç ðàâåíñòâà z ẋ − xż = 0 âûòåêàåò, ÷òî
                d  z  żx − z ẋ
                       =           = 0 =⇒ z = ax, a = const.
               dt x         x2
Íî ïðè t = 0 èìååì 0 = z|t=0 = ax|t=0 = ax(0) =⇒ a = 0 =⇒ z = 0.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî z(t) ≡ 0.  ðåçóëüòàòå çàäà÷à èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé
(2.14) ñâåëàñü ê ðåøåíèþ ñèñòåìû äâóõ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé
        1              γµm                          p
          m ẋ2 + ẏ 2 −     = C, xẏ − y ẋ = k, r = x2 + y 2 .   (2.19)
        2                r
                                        24

Страницы