Классические методы математической физики - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

dr
dθ
2
= r
4
(
ε
2
p
2
−
1
r
−
1
p
2
)
.
r u
u =
1
r
−
1
p
⇒
du
dθ
= −
1
r
2
dr
dθ
.
u
du
dθ
2
=
ε
2
p
2
− u
2
du
dθ
=
s
ε
2
p
2
− u
2
.
θ − θ
0
=
Z
du
p
ε
2
/p
2
− u
2
= arcsin
pu
ε
.
θ
0
θ θ
0
= π/2 u = 0
θ = π/2
sin(θ −
π
2
) = −cosθ =
pu
ε
⇒ u = −
ε
p
cosθ ⇒
1
r
−
1
p
= −
ε
p
cosθ ⇒ r =
p
1 − εcosθ
.
p = k
2
/γµ
p
a b p = b
2
/a
Òîãäà äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2.21) îðáèòû ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä
                   2        (             2 )
                                  2
                                      
                    dr          ε       1 1
                         = r4       −    −       .
                    dθ          p2      r p

Îíî óïðîñòèòñÿ, åñëè ââåñòè âìåñòî r íîâóþ íåèçâåñòíóþ óíêöèþ u, ãäå
                             1 1  du   1 dr
                        u=    − ⇒    =− 2 .                           (2.23)
                             r p  dθ   r dθ
Íîâàÿ èñêîìàÿ óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
                2                        s
                          2
                du      ε             du     ε2
                     = 2 − u2 èëè        =     2
                                                 − u2 .      (2.24)
                dθ      p             dθ     p

Ýòî  îáûêíîâåííîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàç-
äåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Îíî ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî
èìååì
                                 du              pu
                          Z
                 θ − θ0 =   p            = arcsin .           (2.25)
                              ε2/p2 − u2          ε
Çäåñü θ0  êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Åå ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíûì
îáðàçîì, òàê êàê áåçðàçëè÷íî, îò êàêîãî èêñèðîâàííîãî ðàäèóñâåêòîðà
ñëåäóåò îòñ÷èòûâàòü óãîë θ . Ïðèìåì θ0 = π/2, òàê ÷òî çíà÷åíèþ u = 0
ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå θ = π/2. Òîãäà, âçÿâ ñèíóñ îò (2.25), èìååì ñ ó÷åòîì
(2.23), ÷òî
                        π            pu           ε
                sin(θ − ) = −cosθ =      ⇒ u = − cosθ ⇒
                        2             ε           p
                     1 1      ε                 p
                       − = − cosθ ⇒ r =               .               (2.26)
                     r p      p             1 − εcosθ
Èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî [43, ñ. 173℄, ÷òî óðàâíåíèå (2.26)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëÿðíîå óðàâíåíèå êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà, îäèí èç
îêóñîâ êîòîðîé íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò äà-
åò ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà: ïëàíåòû (è êîìåòû) äâèæóòñÿ ïî êîíè÷åñêèì
ñå÷åíèÿì, â îäíîì èç îêóñîâ êîòîðûõ íàõîäèòñÿ Ñîëíöå. Õîðîøî èçâåñò-
íî, ÷òî ñóùåñòâóåò òðè òèïà êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà: ýëëèïñ, ãèïåðáîëà è
ïàðàáîëà. Äâå âîçìîæíûå â ñèëó ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà ñèòóàöèè, êîãäà
ïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó èëè ïî ãèïåðáîëå, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.3à è
2.3á.
   Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà p = k 2 /γµ íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì êîíè÷åñêîãî
ñå÷åíèÿ èëè îêàëüíûì ïàðàìåòðîì; ó ýëëèïñà è ãèïåðáîëû ïàðàìåòð p
ñâÿçàí ñ áîëüøîé è ìàëîé ïîëóîñÿìè a è b ïðîñòîé îðìóëîé p = b2 /a.


                                     26

Страницы