Классические методы математической физики - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

r θ x = rcosθ, y = rsinθ
˙x
2
+ ˙y
2
= ˙r
2
+ r
2
˙
θ
2
x ˙y − y ˙x = r
2
˙
θ
r θ
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
θ
2
) −
γµm
r
= C, r
2
˙
θ = k.
(1/2) r
2
˙
θ
k
˙
θ = 0
θ = const
r θ
˙
θ =
k
r
2
, ˙r ≡
dr
dt
=
dr
dθ
dθ
dt
=
k
r
2
dr
dθ
.
r = r(θ)
m
2
(
k
2
r
4
dr
dθ
2
+
k
2
r
2
)
−
γµm
r
= C ⇒
dr
dθ
2
= r
4
2C
mk
2
+
2γµ
k
2
1
r
−
1
r
2
.
2C
mk
2
+
2γµ
k
2
1
r
−
1
r
2
= −
1
r
−
γµ
k
2
2
+
γ
2
µ
2
k
4
+
2C
mk
2
= −
1
r
−
1
p
2
+
ε
2
p
2
,
1
p
=
γµ
k
2
, ε
2
= 1 +
2Ck
2
mγ
2
µ
2
.
    Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.19) ââåäåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû
r è θ ñ ïîìîùüþ îðìóë x = rcosθ, y = rsinθ. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî
ẋ2 + ẏ 2 = ṙ2 + r2 θ̇2 , xẏ − y ẋ = r2θ̇. Ñ ó÷åòîì ýòîãî èç (2.19) ïðèõîäèì
ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ
ïåðåìåííûõ r è θ :
                     m 2               γµm
                       (ṙ + r2 θ̇2) −     = C, r2 θ̇ = k.                (2.20)
                     2                  r
   Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ïåðâîå óðàâíåíèå â (2.20) âûðàæàåò çàêîí ñîõðà-
íåíèÿ ýíåðãèè. Âûÿñíèì ñìûñë âòîðîãî óðàâíåíèÿ. Õîðîøî èçâåñòíî [24℄,
÷òî âûðàæåíèå (1/2)r2θ̇ ðàâíî ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïëîùàäè ñåê-
òîðà, îïèñûâàåìîãî ðàäèóñâåêòîðîì äâèæóùåéñÿ òî÷êè, ò. å. ðàâíî ñêî-
ðîñòè èçìåíåíèÿ ïëîùàäè ýòîãî ñåêòîðà.  òàêîì ñëó÷àå âòîðîå óðàâíå-
íèå â (2.20) óòâåðæäàåò, ÷òî ýòà ñêîðîñòü ïîñòîÿííà. Ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó-
÷èë íàçâàíèå âòîðîãî çàêîíà Êåïëåðà èëè çàêîíà ïëîùàäåé: ðàäèóñâåêòîð
ïëàíåòû, äâèæóùåéñÿ âîêðóã Ñîëíöà, çàìåòàåò â ðàâíûå ïðîìåæóòêè
âðåìåíè ðàâíûå ïëîùàäè.
   Åñëè ïîñòîÿííàÿ ïëîùàäåé k ðàâíà íóëþ, òî θ̇ = 0 è θ = const. Ýòîò
ñëó÷àé îòâå÷àåò äâèæåíèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, è íèæå íå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ.
   Çàéì¼ìñÿ òåïåðü îïðåäåëåíèåì ãåîìåòðè÷åñêîé îðìû îðáèòû ïëàíåòû.
Äëÿ ýòîãî áóäåì ðàññìàòðèâàòü r êàê óíêöèþ îò θ . Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ
(2.20) âûâîäèì, ÷òî
                             k         dr   dr dθ   k dr
                      θ̇ =      , ṙ ≡    =       =       .
                             r2        dt   dθ dt   r2 dθ
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â ïåðâîå óðàâíåíèå (2.20), ïðèõîäèì ê ñëåäó-
þùåìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ óíêöèè r = r(θ), îïèñûâàþ-
ùåé îðáèòó ïëàíåòû ïðè åå äâèæåíèè âîêðóã Ñîëíöà:
   (               )
       2      2    2
                                     2                           
 m k dr          k     γµm            dr          2C     2γµ 1    1
       4
                + 2 −       =C⇒            = r4        + 2 − 2 .
 2 r      dθ     r       r            dθ          mk 2    k r r
                                                                  (2.21)
  Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè (2.21) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê:
                               2                            2
                                     γ 2µ2                         ε2
                                                     
  2C     2γµ 1   1       1 γµ               2C          1 1
       + 2 − 2 =−          − 2    + 4 +          =−       −     + 2,
  mk 2    k r r          r   k        k     mk 2        r p        p
ãäå
                         1 γµ    2    2Ck 2
                           = 2, ε =1+        .                            (2.22)
                         p  k         mγ 2µ2


                                        25

Страницы