Классические методы математической физики - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

µ
m
t = 0 r
0
r
0
= |r
0
| > 0
v
0
µ m
f(r) = −γµm
r
r
3
.
γ r = xi+yj+zk
t i, j k
R
3
r =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
m
m
¨
r = f(r) ≡ −
γµm
r
3
r
¨
r = −γµ
r
r
3
.
¨x = −γµ
x
r
3
, ¨y = −γµ
y
r
3
, ¨z = −γµ
z
r
3
.
˙x ˙y ˙z
¨x ˙x = (1/2)d/dt( ˙x
2
) x ˙x = (1/2)d/dt(x
2
)
y z m
1
2
m
d
dt
( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
) = −γµm
1
2
1
r
3
d
dt
(r
2
) = −γµm
˙r
r
2
= γµm
d
dt
(
1
r
).
(èëè, êàê ãîâîðÿò àñòðîíîìû, îðáèòû) äâèæåíèÿ ïëàíåòû îêîëî Ñîëíöà.
Äàííóþ çàäà÷ó áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðè ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ:
   1) Ñîëíöå èìååò âèä ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû µ, ðàñïîëîæåííîé â
íà÷àëå äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
   2) Äâèæóùàÿñÿ ïëàíåòà ìîäåëèðóåòñÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé ìàññû m,
êîòîðàÿ â ìîìåíò t = 0 çàíèìàåò ïîëîæåíèå r0 ñ r0 = |r0 | > 0, èìåÿ
íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0 .
   3) Òåëî ìàññû µ ïðèòÿãèâàåò ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ìàññû m ñ ñèëîé f,
îïðåäåëÿåìîé îðìóëîé
                                          r
                            f(r) = −γµm 3 .                          (2.12)
                                         r
Çäåñü γ  ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ (ñì. åå çíà÷åíèå ⠟ 3), r = xi+yj+zk
 ïîëîæåíèå òî÷êè (ïëàíåòû) â ìîìåíò âðåìåíèpt, ãäå i, j è k  åäèíè÷íûå
îðòû äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â R3 , r = x2 + y 2 + z 2 .
   Â ìåõàíèêå óêàçàííàÿ ñèëà íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé. Â ðåçóëüòàòå ìû
ïðèøëè ê õîðîøî èçâåñòíîé â ìåõàíèêå çàäà÷å íàõîæäåíèÿ äâèæåíèÿ ìàòå-
ðèàëüíîé òî÷êè (ïëàíåòû) ìàññû m ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîãî ñèëîâîãî
ïîëÿ (2.12). Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è îïÿòü âûáåðåì â êà÷åñòâå îñíîâ-
íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè âòîðîé çàêîí Íüþòîíà (2.1), êîòîðûé ñ ó÷åòîì
(2.12) ïåðåïèøåì â âèäå:
                                    γµm                r
                   mr̈ = f(r) ≡ −      3
                                         r èëè r̈ = −γµ 3 .              (2.13)
                                     r                 r
 ïðîåêöèÿõ íà îñè êîîðäèíàò óðàâíåíèå (2.13) ïðèíèìàåò âèä
                              x             y             z
                   ẍ = −γµ      , ÿ = −γµ    , z̈ = −γµ    .           (2.14)
                              r3            r3            r3
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â îòëè÷èå îò (2.3) ñèñòåìà (2.14) ñîñòîèò èç òðåõ íåëèíåé-
íûõ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. Õîðî-
øî èçâåñòíî, ÷òî íàõîæäåíèå òî÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíå-
íèé â ÿâíîì âèäå âîçìîæíî òîëüêî â íåêîòîðûõ èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Ê ñ÷àñòüþ, â äàííîé ñèòóàöèè ìû èìååì òîò èñêëþ÷èòåëüíûé ñëó÷àé, êî-
ãäà ýòî âîçìîæíî. Íî äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû (2.14),
ïðèäåòñÿ ïðîâåñòè ðÿä ìàòåìàòè÷åñêèõ âûêëàäîê.
   Ìû íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî âûâåäåì â êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ìîäåëè (2.13) äè-
åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, âûðàæàþùåå çàêîí ñîõðàíå-
íèÿ ýíåðãèè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå â
(2.14) íà ẋ, âòîðîå  íà ẏ , òðåòüå óðàâíåíèå  íà ż è ñëîæèì ïîëó÷åííûå ñî-
îòíîøåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ ẍẋ = (1/2)d/dt(ẋ2), xẋ = (1/2)d/dt(x2)
è àíàëîãè÷íûå äëÿ y è z , ïîëó÷èì ïîñëå óìíîæåíèÿ íà m
  1 d 2                        11 d           ṙ      d 1
   m (ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) = −γµm 3 (r2 ) = −γµm 2 = γµm ( ).              (2.15)
  2 dt                         2 r dt         r       dt r
                                        23

Страницы