Классические методы математической физики - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ε > 0
ε < 1 ε = 1 ε > 1
C
C < 0 C = 0
C > 0
t = 0
C =
1
2
mv
2
0
−
γµm
r
0
,
r
0
= r(0)
v
0
= v(0) = |v(0)| =
p
˙x
2
(0) + ˙y
2
(0) C
r
0
v
0
v(0)
v(0) k 6= 0
C
t
0
r
0
(r
0
, θ
0
) t > t
0
r = (r, θ)
r
2
dθ = kdt
                   (à)                                 (á)


                                  èñ. 2.3.


   Âåëè÷èíà ε > 0, îïðåäåëÿåìàÿ âòîðîé îðìóëîé â (2.22), íàçûâàåòñÿ
ýêñöåíòðèñèòåòîì. Îíà îïðåäåëÿåò îðìó êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ, êîòîðîå
ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì ïðè ε < 1, ïàðàáîëîé ïðè ε = 1 è ãèïåðáîëîé ïðè ε > 1.
Èç âòîðîãî ðàâåíñòâà â (2.22) ñðàçó âèäíî, ÷òî ýòè òðè ðàçëè÷íûå âîç-
ìîæíîñòè çàâèñÿò îò çíà÷åíèé ïîñòîÿííîé C , õàðàêòåðèçóþùåé ýíåðãèþ:
îðáèòà áóäåò ýëëèïñîì, åñëè C < 0, ïàðàáîëîé, åñëè C = 0, è ãèïåðáîëîé,
åñëè C > 0.
   Çàìå÷àíèå 2.1. Îòìåòèì, ÷òî ïðè t = 0 ïåðâîå ñîîòíîøåíèå â (2.19)
ïðèíèìàåò âèä
                                   1       γµm
                             C = mv02 −         ,                     (2.27)
                                   2        r0
ãäå r0 = r(0)  ðàññòîÿíèå îò òî÷êè (ïëàíåòû)p äî öåíòðà (Ñîëíöà) â íà÷àëü-
íûé ìîìåíò âðåìåíè, à v0 = v(0) = |v(0)| = ẋ2 (0) + ẏ 2 (0). Ïîñêîëüêó C
 àáñîëþòíàÿ êîíñòàíòà íà âñåì âðåìåííîì èíòåðâàëå, îïðåäåëÿþùàÿ âèä
îðáèòû (ÿâëÿþùåéñÿ ýëëèïñîì, ïàðàáîëîé èëè ãèïåðáîëîé), òî èç (2.27)
ñëåäóåò, ÷òî âèä îðáèòû çàâèñèò ëèøü îò íà÷àëüíîãî ðàññòîÿíèÿ r0 ïëà-
íåòû äî Ñîëíöà è ìîäóëÿ v0 åå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v(0), íî íå çàâèñèò îò
íàïðàâëåíèÿ v(0) (ïðè èñïîëüçóåìîì íàìè ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî k 6= 0). Â
íåáåñíîé ìåõàíèêå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êîíñòàíòà C â (2.27) îòðèöàòåëüíà.
Îòñþäà ñëåäóåò î÷åíü âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî îðáèòîé Çåìëè ÿâëÿåò-
ñÿ ýëëèïñ. Íóæíî ïðèçíàòü, ÷òî çåìëÿíàì êðóïíî ïîâåçëî, ïîñêîëüêó äëÿ
Çåìëè ðåàëèçóåòñÿ èìåííî òà áëàãîïðèÿòíàÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ æèçíè ñè-
òóàöèÿ, êîòîðàÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.3à.
   Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îñòàëîñü îïðåäåëèòü íåêîòîðûå êîëè÷å-
ñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåññà äâèæåíèÿ ïëàíåòû è, â ÷àñòíîñòè, ïå-
ðèîä åå îáðàùåíèÿ âîêðóã Ñîëíöà. Ïóñòü â ìîìåíò t0 òî÷êà çàíèìàåò ïîëî-
æåíèå r0 ñ êîîðäèíàòàìè (r0 , θ0 ), à â ìîìåíò t > t0  ïîëîæåíèå r = (r, θ).
Èíòåãðèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå â (2.20), çàïèñàííîå â âèäå r2 dθ = kdt, èìååì




                                     27

Страницы