Классические методы математической физики - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
x = (x, y, z)
u(x) = γ
m
|x − x
0
|
.
m x
0
= (x
0
, y
0
, z
0
)
γ
6.6732·10
−11
H·
2
/
2
|x−x
0
| x
0
|x − x
0
| =
p
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
+ (z − z
0
)
2
.
u
f = (f
x
, f
y
, f
z
)
f = gradu.
gradu u
gradu(x) u
x i j k
gradu =
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j +
∂u
∂z
k.
f
x
, f
y
f
z
f
x
=
∂u
∂x
, f
y
=
∂u
∂y
, f
z
=
∂u
∂z
.
u
(x
0
, m)
N (x
1
, m
1
) (x
2
, m
2
) (x
N
, m
N
)
x 6= x
j
u(x) = γ
N
X
j=1
m
j
|x − x
j
|
.
    èïîòåçà äàëüíîäåéñòâèÿ Ëàïëàñà:              Íàëè÷èå ëþáîãî ïðèòÿãèâà-
þùåãî (ò. å. ñ ïîëîæèòåëüíîé ìàññîé) òåëà âëå÷åò çà ñîáîé âîçíèêíîâåíèå
âî âñåì ïðîñòðàíñòâå íåêîòîðîé ñóáñòàíöèè, èíòåíñèâíîñòü u êîòîðîé
â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x = (x, y, z) âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå
                                        m
                            u(x) = γ           .                      (3.1)
                                     |x − x0 |
Çäåñü m  ìàññà äàííîãî òåëà, x0 = (x0, y0 , z0 )  ìåñòî (òî÷êà) ðàñïîëîæå-
íèÿ òåëà, γ  àáñîëþòíàÿ êîíñòàíòà, ïîëó÷èâøàÿ íàçâàíèå ãðàâèòàöèîí-
íîé ïîñòîÿííîé, åå ÷èñëåííîå çíà÷åíèå â ñèñòåìå ÑÈ ðàâíî 6.6732·10−11H·
ì2 /êã2 , íàêîíåö, |x − x0 |  ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è x0 , îïðåäåëÿåìîå
îðìóëîé                      p
                |x − x0| = (x − x0)2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2.          (3.2)
   Ñìûñë ñóáñòàíöèè u çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åå çíàíèå ïîçâîëÿåò âû-
÷èñëèòü âåêòîð f = (fx, fy , fz ) ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû
òåëà íà òåëî åäèíè÷íîé ìàññû, ðàñïîëîæåííîå â òî÷êå x, ñ ïîìîùüþ îð-
ìóëû
                                     f = gradu.                          (3.3)
Âåêòîð gradu â (3.3) íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì óíêöèè u. Ïî ñâîåìó ñìûñëó
gradu(x) óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå áûñòðåéøåãî âîçðàñòàíèÿ óíêöèè u â
òî÷êå x.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ îðòàìè i, j, k îí îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé
                                      ∂u    ∂u    ∂u
                            gradu =      i+    j+    k.
                                      ∂x    ∂y    ∂z
Ñ ó÷åòîì ýòîãî âåêòîðíîå ðàâåíñòâî (3.3) ìîæíî çàïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì
âèäå òðåõ ñêàëÿðíûõ ðàâåíñòâ äëÿ äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò fx , fy è fz :
                            ∂u        ∂u        ∂u
                       fx =    , fy =    , fz =    .                    (3.4)
                            ∂x        ∂y        ∂z
   Ïîñêîëüêó âåêòîð f îïèñûâàåò ñèëó òÿãîòåíèÿ, òî óíêöèþ u ïðèíÿòî
íàçûâàòü ïîòåíöèàëîì ïîëÿ ñèëû òÿãîòåíèÿ (ñîçäàâàåìîé â äàííîì ñëó÷àå
ïàðîé èëè òåëîì (x0 , m)) èëè ïðîñòî ãðàâèòàöèîííûì ïîòåíöèàëîì. Ïðè
ýòîì ñàìî ïîëå òÿãîòåíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò ãðàâèòàöèîííûì ïîëåì.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåð-
ïîçèöèè. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó ãðàâèòàöèîííîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñî-
âîêóïíîñòüþ ïðèòÿãèâàþùèõ òåë, ðàâíî ñóììå ãðàâèòàöèîííûõ ïîëåé, ñî-
çäàâàåìûõ êàæäûì èç ýòèõ òåë. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ãðàâèòàöèîííûé
ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî N ïàðàìè (x1 , m1 ), (x2 , m2 ),..., (xN , mN ),
îïðåäåëÿåòñÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x 6= xj îðìóëîé
                                      N
                                      X        mj
                           u(x) = γ                   .                  (3.5)
                                      j=1
                                            |x − xj |

                                      30

Страницы