Классические методы математической физики - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
u
u
i
(x) = γ
m
i
|x − x
i
|
u
i
|x − x
i
| = r
i
(x),
∂r
i
(x)
∂x
=
x − x
i
r
,
∂r
i
(x)
∂y
=
y −y
i
r
,
∂r
i
(x)
∂z
=
z − z
i
r
.
∂u
i
(x)
∂x
= −γm
i
x − x
i
r
3
,
∂u
i
(x)
∂y
= −γm
i
y −y
i
r
3
,
∂u
i
(x)
∂z
= −γm
i
z − z
i
r
3
.
∂
2
u
i
(x)
∂x
2
= γm
i
−
1
r
3
+ 3
(x − x
i
)
2
r
5
,
∂
2
u
i
(x)
∂y
2
= γm
i
−
1
r
3
+ 3
(y − y
i
)
2
r
5
,
∂
2
u
i
(x)
∂z
2
= γm
i
−
1
r
3
+ 3
(z −z
i
)
2
r
5
.
∂
2
u
i
∂x
2
+
∂
2
u
i
∂y
2
+
∂
2
u
i
∂z
2
= 0, x 6= x
i
.
u =
N
P
i=1
u
i
∆u =
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= 0,
D ≡ R
3
\{x
1
, x
2
, ..., x
N
}
u ∆
u
   Îãðîìíàÿ çàñëóãà Ëàïëàñà â äåëå äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ ÿâëå-
íèÿ âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ïðåäëîæèë èñïîëüçî-
âàòü ïðè èçó÷åíèè òÿãîòåíèÿ íå ñàì ïîòåíöèàë u, à òî äèåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò u. Âûâåäåì ýòî óðàâíåíèå. Äëÿ ýòîãî,
ðàññóæäàÿ äàëåå, êàê â [14, ñ. 13-15℄, âûáåðåì i-îå ñëàãàåìîå
                                                 mi
                                 ui (x) = γ                                     (3.6)
                                              |x − xi|
â ñóììå (3.5) è âû÷èñëèì âòîðûå ïðîèçâîäíûå îò óíêöèè ui. Ïîëàãàÿ äëÿ
ïðîñòîòû |x − xi | = ri (x), èìååì
             ∂ri(x) x − xi ∂ri(x) y − yi ∂ri(x) z − zi
                   =      ,      =      ,      =       .                        (3.7)
              ∂x      r     ∂y      r     ∂z      r
Îòñþäà è èç (3.6) âûòåêàåò, ÷òî
  ∂ui(x)          x − xi ∂ui(x)                y − yi ∂ui(x)               z − zi
           = −γmi 3 ,                = −γmi 3 ,                     = −γmi 3 .
     ∂x             r          ∂y                  r          ∂z              r
                                                                                 (3.8)
Äèåðåíöèðóÿ åùå ðàç, èìååì
 ∂ 2ui (x)                  (x − xi)2      ∂ 2ui (x)                    (y − yi )2
                                                                                
                    1                                             1
           = γmi − 3 + 3                ,             = γmi − 3 + 3                  ,
    ∂x2            r           r5             ∂y 2                r        r5
                    ∂ 2ui (x)                      (z − zi )2
                                                             
                                          1
                               = γmi − 3 + 3                    .                (3.9)
                       ∂z 2               r           r5
  Ñêëàäûâàÿ íàéäåííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå, ïîëó÷àåì
                        ∂ 2 ui ∂ 2 ui ∂ 2 ui
                              +      +       = 0, x 6= xi .
                        ∂x2     ∂y 2   ∂z 2
                                         N
Îòñþäà è èç òîãî óñëîâèÿ, ÷òî u =              ui ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
                                         P
                                         i=1

                              ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                          ∆u = 2 + 2 + 2 = 0,                                  (3.10)
                              ∂x   ∂y   ∂z
êîòîðîìó â êàæäîé òî÷êå x îáëàñòè D ≡ R3 \ {x1 , x2 , ..., xN } óäîâëåòâîðÿ-
åò ïîòåíöèàë u ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Ñèìâîë ∆, ââåäåííûé â (3.10) (ñì.
òàêæå (3.18)), íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì Ëàïëàñà, à óðàâíåíèå (3.10) ïðèíÿòî
íàçûâàòü óðàâíåíèåì Ëàïëàñà.
   Çàñëóãà Ëàïëàñà, òàêèì îáðàçîì, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ïðåäëîæèë
îòêàçàòüñÿ îò ÿâíîé îðìóëû (3.3) äëÿ ñèë ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåé-
ñòâèÿ â ïîëüçó óðàâíåíèÿ (3.10) äëÿ ïîòåíöèàëà u. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

                                         31

Страницы