Классические методы математической физики - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
u
R
3
x
i
ρ Ω Γ
Ω
Ω
i
∆V
i
ρ(x
i
)∆V
i
, x
i
Ω
i
u
i
x
0
6= x
i
γρ(x
i
)∆V
i
/|x
i
− x
0
|
i = 1, 2, ..., N
γ
N
X
i=1
ρ(x
i
)∆V
i
|x
i
− x
0
|
,
(Ω, ρ)
x
0
6= x
i
Ω
u(x
0
) = γ
Z
Ω
ρ(x)dx
|x − x
0
|
,
Ω, ρ
x
0
Ω = Ω ∪ Γ
Ω dx
ρ
R
3
x R
3
∆u ≡
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= −4πγρ(x),
äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ñîñåäíè-
ìè ýëåìåíòàìè ïîëÿ, òàê ÷òî ââåäåíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà ïîäìå-
íÿåò çàäà÷ó î äàëüíîäåéñòâèè ìåæäó ðåàëüíûìè òåëàìè çàäà÷åé î áëèçêî-
äåéñòâóþùåì âçàèìîäåéñòâèè ìåæäó ñîñåäíèìè îáëàñòÿìè ïðîñòðàíñòâà,
íàïîëíåííîãî íåêîòîðîé èñêóññòâåííî ïðèäóìàííîé ãðàâèòàöèîííîé ñóá-
ñòàíöèåé èíòåíñèâíîñòè u.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîòåíöèàë u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà âñþäó
â R3 , êðîìå òî÷åê xi, ãäå ñîñðåäîòî÷åíû ïðèòÿãèâàþùèå ìàññû. Íà ïðàê-
òèêå îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ ïîëåì òÿãîòåíèÿ, âûçâàííûì ìàñ-
ñîé, ðàñïðåäåëåííîé ñ ïëîòíîñòüþ ρ ïî íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé Γ.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âûâåñòè îðìóëó äëÿ ïîòåíöèàëà óêàçàííîãî îáú-
åìíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ. Ïðèìåíèì äëÿ ýòîãî ñëåäóþùóþ ñõåìó, íà êî-
òîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà ñòàíäàðòíóþ ñõåìó ìåòîäà
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. àçîáüåì îáëàñòü Ω íà ýëåìåíòàðíûå
ïîäîáëàñòè Ωi ñ îáúåìàìè ∆Vi è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîì èç íèõ ñî-
ñðåäîòî÷åíà ìàññà, ðàâíàÿ ρ(xi)∆Vi, ãäå xi  íåêîòîðàÿ ñðåäíÿÿ òî÷êà
ïîäîáëàñòè Ωi .  òàêîì ñëó÷àå ñîçäàâàåìûé óêàçàííîé òî÷å÷íîé ìàññîé
ïîòåíöèàë ui ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé ìàññå, îïðåäåëÿåò-
ñÿ â êàæäîé òî÷êå x0 6= xi îðìóëîé γρ(xi)∆Vi/|xi − x0 |. Ñóììèðóÿ ïî
âñåì i = 1, 2, ..., N , ïðèõîäèì â ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ê îðìóëå
                                 N
                                 X ρ(xi)∆Vi
                             γ                      ,
                                 i=1
                                       |xi − x0 |

êîòîðàÿ ïðèáëèæåííî îïèñûâàåò ïîòåíöèàë òåëà (Ω, ρ) â ïðîèçâîëüíîé òî÷-
êå x0 6= xi . Íàêîíåö, ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè íåîãðàíè÷åííîì èçìåëü-
÷åíèè îáëàñòè Ω, ïðèõîäèì ïî îïðåäåëåíèþ òðîéíîãî èíòåãðàëà ê ñëåäóþ-
ùåé îðìóëå
                                           ρ(x)dx
                                       Z
                             u(x0) = γ              ,                (3.11)
                                          |x − x0 |
                                        Ω
êîòîðàÿ óæå òî÷íî îïðåäåëÿåò ïîòåíöèàë ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ òåëà (Ω, ρ)
â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x0 , ðàñïîëîæåííîé âíå çàìûêàíèÿ Ω = Ω ∪ Γ îáëà-
ñòè Ω. Çäåñü è íèæå dx îáîçíà÷àåò ýëåìåíò îáúåìà. Ôîðìóëà (3.11) íîñèò
íàçâàíèå îáúåìíîãî èëè íüþòîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà.
   Ìîæíî ïîêàçàòü (ýòèì ìû çàéìåìñÿ â ãë. 7), ÷òî äëÿ ïëîòíîñòè ρ, îáëà-
äàþùåé íåêîòîðîé ãëàäêîñòüþ, íàïðèìåð, èìåþùåé íåïðåðûâíûå ïðîèç-
âîäíûå 1-ãî ïîðÿäêà â R3 , ïîòåíöèàë (3.11) óäîâëåòâîðÿåò â êàæäîé òî÷êå
x ïðîñòðàíñòâà R3 òàê íàçûâàåìîìó óðàâíåíèþ Ïóàññîíà
                       ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                   ∆u ≡ 2 + 2 + 2 = −4πγρ(x),                        (3.12)
                       ∂x   ∂y   ∂z

                                        32

Страницы