Классические методы математической физики - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

divE =
∂E
1
∂x
+
∂E
2
∂y
+
∂E
3
∂z
,
rotE
rotE =
∂E
3
∂y
−
∂E
2
∂z
i +
∂E
1
∂z
−
∂E
3
∂x
j +
∂E
2
∂x
−
∂E
1
∂y
k.
E
1
, E
2
, E
3
E
rotgradu = 0, divgra du = ∆u,
E
divE =
ρ
e
ε
0
ε
, rotE = 0.
u E Γ
u
u = g Γ,
∂u
∂n
= g
Γ,
∂u
∂n
+ αu = g
Γ.
g α : Γ → R Γ
äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îðìóëîé
                                  ∂E1 ∂E2 ∂E3
                         divE =      +    +    ,                         (3.16)
                                  ∂x   ∂y   ∂z
è âåêòîðíîå ïîëå rotE, îïðåäåëÿåìîå â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îð-
ìóëîé
                                                      
             ∂E3 ∂E2           ∂E1 ∂E3          ∂E2 ∂E1
    rotE =       −        i+       −       j+        −       k.   (3.17)
              ∂y    ∂z          ∂z    ∂x         ∂x    ∂y
Çäåñü E1 , E2 , E3  äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âåêòîðà E. Ïðèìåíÿÿ ê (3.15)
îïåðàòîð rot, ëèáî div è èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ñîîòíîøåíèÿ [19, ñ. 158℄

                       rotgradu = 0, divgradu = ∆u,                      (3.18)

ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì (3.14) ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî E:
                                    ρe
                           divE =        , rotE = 0.                     (3.19)
                                    ε0 ε
Óðàâíåíèÿ (3.19) òàê æå, êàê è (3.14), îáðàçóþò ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû åùå âåðíåìñÿ ⠟ 7.
   3.3. Ïîñòàíîâêà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.14), ëèáî ñèñòåìû (3.19), íåîáõîäèìî çàäàòü äîïîë-
íèòåëüíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ u ëèáî E íà ãðàíèöå Γ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà u çàäàþò îäíî èç ñëåäóþùèõ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé:
                             u = g íà Γ,                          (3.20)
                               ∂u
                                  = g íà Γ,                              (3.21)
                               ∂n
                              ∂u
                                  + αu = g íà Γ.                         (3.22)
                              ∂n
Çäåñü g è α : Γ → R  çàäàííûå óíêöèè íà ãðàíèöå Γ. ðàíè÷íîå
óñëîâèå (3.20) ïðèíÿòî íàçûâàòü óñëîâèåì 1-ãî ðîäà, èëè óñëîâèåì Äèðè-
õëå; óñëîâèå (3.21) íàçûâàþò óñëîâèåì 2-ãî ðîäà èëè óñëîâèåì Íåéìàíà;
óñëîâèå (3.22)  óñëîâèåì òðåòüåãî ðîäà. Ïðè ýòîì ñàìó êðàåâóþ çàäà÷ó
(3.14), (3.20), ëèáî (3.14), (3.21) ëèáî (3.14), (3.22) íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåí-
íî ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷åé, èëè çàäà÷åé Äèðèõëå, âòîðîé êðàåâîé çàäà÷åé,
èëè çàäà÷åé Íåéìàíà, íàêîíåö, òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèÿ
(3.14).
   Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè êðàåâûìè çàäà÷àìè íà ïðàêòèêå ÷àñòî ðàññìàò-
ðèâàþò è òàê íàçûâàåìóþ ñìåøàííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó, çàêëþ÷àþùóþñÿ â


                                      34

Страницы