Классические методы математической физики - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω
|x| → ∞
R
3
u(x) = o(1) |x| → ∞.
o(1)
u(x)
Ω = R
3
R
3
∆
∆
∆u
(ρ, ϕ, z)
(r, θ, ϕ)
∆u = ∆
r,θ,ϕ
u ≡
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂u
∂r
+
1
r
2
sinθ
∂
∂θ
sinθ
∂u
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
u
∂ϕ
2
,
∆u = ∆
ρ,ϕ,z
u ≡
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+
∂
2
u
∂z
2
.
êàæäàÿ èç ðàññìîòðåííûõ âûøå êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ (3.14) îòíî-
ñèòñÿ ê êëàññó òàê íàçûâàåìûõ âíóòðåííèõ ýëëèïòè÷åñêèõ êðàåâûõ çàäà÷.
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâàòü êàêîå-ëèáî ýë-
ëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω. Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèí-
ñòâåííîãî ðåøåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â òàêîé îáëàñòè íåîáõîäèìî
çàäàâàòü, êðîìå îäíîãî èç ââåäåííûõ âûøå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, äîïîëíè-
òåëüíîå óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè, ò. å. ïðè |x| → ∞. Äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàñ-
ñîíà, ðàññìàòðèâàåìîãî âî âíåøíîñòè êîìïàêòà â R3 , óêàçàííîå óñëîâèå,
îáåñïå÷èâàþùåå êîððåêòíîñòü ðàññìàòðèâàåìîé êðàåâîé çàäà÷è, èìååò âèä

                          u(x) = o(1) ïðè |x| → ∞.                        (3.24)

Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ âåëè÷èíû o(1), ÷òî ïîòåíöè-
àë u(x) ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.  ñëó÷àå, êîãäà
Ω = R3 , êàê ýòî èìååò ìåñòî ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ ãðàâèòàöèîííî-
ãî ïîòåíöèàëà, (3.24) ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì óñëîâèåì, îáåñïå÷èâàþùèì
êîððåêòíîñòü çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà â R3 (ñì. îá
ýòîì â ãë. 7).
   Çàìå÷àíèå 3.5. Âûøå ìû ââåëè àêòè÷åñêè äâà îïðåäåëåíèÿ îïåðà-
òîðà Ëàïëàñà ∆: îäíî â âèäå ñóììû âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â (3.10),
äðóãîå  ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ â (3.18). Ïåðâîå èñïîëüçóåò äå-
êàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì,
èáî îíî çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò. Â ïðîòèâîïîëîæíîñòü åìó,
âòîðîå îïðåäåëåíèå íîñèò èíâàðèàíòíûé, ò. å. íå çàâèñÿùèé îò âûáîðà
ñèñòåìû êîîðäèíàò, õàðàêòåð, ïîñêîëüêó îíî îïðåäåëÿåò îïåðàòîð ∆ ÷å-
ðåç èíâàðèàíòûå äèåðåíöèðàëüíûå îïåðàöèè âåêòîðíîãî àíàëèçà: div è
grad. Âòîðîå îïðåäåëåíèå, êîíå÷íî, áîëåå óäîáíî, ïîñêîëüêó îíî ïîçâîëÿåò
çàïèñûâàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ∆u â ëþáîé êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäè-
íàò ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé äëÿ div è grad. Íè-
æå, íàðÿäó ñ âûðàæåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ,
ìû áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü åãî âûðàæåíèÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ (ρ, ϕ, z)
è ñåðè÷åñêèõ (r, θ, ϕ) êîîðäèíàòàõ. Óêàçàííûå âûðàæåíèÿ, ïðèâåäåííûå,
íàïðèìåð, â [19, ñ. 168-169℄, èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä

                                                                1 ∂ 2u
                                                      
                  1 ∂      2 ∂u        1 ∂            ∂u
 ∆u = ∆r,θ,ϕ u ≡ 2       r        + 2            sinθ      + 2 2         , (3.25)
                  r ∂r       ∂r      r sinθ ∂θ        ∂θ     r sin θ ∂ϕ2
                                                   1 ∂ 2u ∂ 2 u
                                             
                                  1 ∂      ∂u
               ∆u = ∆ρ,ϕ,z u ≡           ρ      + 2 2 + 2.                 (3.26)
                                  ρ ∂ρ     ∂ρ      ρ ∂ϕ     ∂z


   Ÿ4. Ìîäåëè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà òåïëà è äèóçèè


                                       36

Страницы