Классические методы математической физики - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

D R
3
Ω
Γ
q = q(x, t) q
Q
1
t
1
t
2
Ω
D Ω
e
= D \ Ω
Q
1
= −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Γ
q · ndS.
Γ Ω Ω
e
n
Γ dS Γ −
n
n
n
q
q
D
Ω
Ω
Γ
e
T
T
T
q = −kgradT.
k
−
  4.1. Ìîäåëè ïåðåíîñà òåïëà.       Îäíèì èç âàæíåéøèõ æèçíåííûõ ïðî-
öåññîâ ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà îò îäíîãî ó÷àñòêà ðàññìàò-
ðèâàåìîé ñðåäû ê äðóãèì. Óêàçàííûé ïðîöåññ âûçûâàåòñÿ íåñêîëüêèìè ìå-
õàíèçìàìè, è, â ÷àñòíîñòè: ìîëåêóëÿðíîé äèóçèåé, ò. å. ïåðåäà÷åé êè-
íåòè÷åñêîé ýíåðãèè äâèæóùèõñÿ ÷àñòèö (ìîëåêóë è àòîìîâ), êîíâåêöèåé
èëè äâèæåíèåì ñðåäû, ëó÷åèñïóñêàíèåì, õèìè÷åñêèìè ïðîöåññàìè è ò. ä.
Íèæå ìû âûâåäåì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà, ó÷è-
òûâàþùóþ ïåðâûé ìåõàíèçì ïåðåíîñà òåïëà, à äàëåå óñëîæíèì åå çà ñ÷åò
ó÷åòà âòîðîãî ìåõàíèçìà, ò. å. êîíâåêòèâíîãî ïåðåíîñà òåïëà. Äëÿ êîíêðåò-
íîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü æèäêèå ñðåäû.
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî æèäêîñòü, íàõîäÿùàÿñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, çàíèìàåò
íåêîòîðóþ îáëàñòü D ïðîñòðàíñòâà R3 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ïðîèçâîëüíóþ
åå îãðàíè÷åííóþ ïîäîáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ. Äëÿ ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññà ïåðåíîñà òåïëà ïðèíÿòî ââîäèòü âåêòîð ïîòîêà
òåïëà q = q(x, t). Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðà q çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñ
åãî ïîìîùüþ ìîæíî îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî Q1 òåïëà, âíîñèìîå çà ïðîìå-
æóòîê âðåìåíè îò t1 äî t2 â ïðîèçâîëüíóþ ïîäîáëàñòü Ω ðàññìàòðèâàåìîé
îáëàñòè D ñî ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ ÷àñòè Ωe = D \ Ω, ïî îðìóëå:
                                  Zt2        Z
                         Q1 = −         dt       q · ndS.           (4.1)
                                  t1         Γ

Çäåñü Γ  ãðàíèöà ìåæäó Ω è Ωe (ðèñ. 4.1), n  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé
íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè Γ, dS  ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè Γ. Çíàê  −
âûáðàí ñ ó÷åòîì îðèåíòàöèè íîðìàëè n.
    Èç øêîëüíîãî êóðñà òåðìîäèíàìèêè õî-
ðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìåðîé òåïëà ÿâëÿåòñÿ                 q    n
òåìïåðàòóðà T . Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêà-
åò ïðèíöèïèàëüíî âàæíûé âîïðîñ î òîì,             D           Ω    Ωe
êàê ñâÿçàòü ïîòîê òåïëà ñ òåìïåðàòóðîé                      q   Γ
T . Îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü â òåðìîäèíà-                 n
ìèêå èãðàåò çàêîí Ôóðüå, íàçâàííûé òàê
â ÷åñòü èçâåñòíîãî ðàíöóçñêîãî ìàòåìà-
òèêà è èçèêà S.B. Fourier (17681830).               èñ. 4.1.
Óêàçàííûé çàêîí ïîñòóëèðóåò, ÷òî âåêòîð ïîòîêà òåïëà ñâÿçàí ñ òåìïåðà-
òóðîé T îðìóëîé
                              q = −kgradT.                          (4.2)
Çäåñü k  ïàðàìåòð ñîñòîÿíèÿ ñðåäû, íàçûâàåìûé êîýèöèåíòîì òåïëî-
ïðîâîäíîñòè, à çíàê  − â çàêîíå Ôóðüå îòðàæàåò òîò èçâåñòíûé îïûòíûé
àêò, ÷òî òåïëî âñåãäà òå÷åò îò ãîðÿ÷åé ÷àñòè ñðåäû ê õîëîäíîé.  ñëî-
âåñíîé îðìå çàêîí Ôóðüå âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèìè ñëîâàìè: åñëè òåì-
ïåðàòóðà òåëà íå ðàâíîìåðíà, òî â íåì âîçíèêàþò òåïëîâûå ïîòîêè,

                                        37

Страницы