Классические методы математической физики - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

q k T
D
x ∈ D
x
x
k
x ∈ D t T
k
k
−gradT
Q
1
=
t
2
Z
t
1
dt
Z
Γ
kgradT · ndS.
Z
Ω
divvdx =
Z
Γ
v · ndS
Ω v
v = kgradT Q
1
Q
1
=
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div( kgradT )dx.
Ω
t
1
t
2
D
Ω
F Q
2
Ω ∆t = t
2
− t
1
Q
2
=
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
F dx.
Ω
t
1
íàïðàâëåííûå èç ìåñò ñ áîëåå âûñîêîé òåìïåðàòóðîé â ìåñòà ñ áîëåå
íèçêîé òåìïåðàòóðîé. àçìåðíîñòè âåëè÷èí q, k è T â ñèñòåìå ÑÈ ïðè-
âåäåíû â òàáëèöå 4.1.
   Íàïîìíèì, ÷òî çàíèìàþùàÿ îáëàñòü D ñðåäà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé,
åñëè åå ñâîéñòâà íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé òî÷êè x ∈ D ê äðó-
ãîé. Ñðåäà íàçûâàåòñÿ èçîòðîïíîé â òî÷êå x, åñëè åå ñâîéñòâà îäèíàêîâû
ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, âûõîäÿùèì èç òî÷êè x, è àíèçîòðîïíîé â ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå. Åñëè ñðåäà èçîòðîïíà, òî k ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé,
çàâèñÿùåé â îáùåì ñëó÷àå îò òî÷åê x ∈ D, âðåìåíè t è òåìïåðàòóðû T .
 ñëó÷àå àíèçîòðîïíîé ñðåäû k ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîé óíêöèåé, à âåêòîð
ïîòîêà òåïëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé (ñêàëÿðíîå) ïðîèçâåäåíèå òåíçîðà k íà
âåêòîð −gradT . Íèæå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî èçîòðîïíûå ñðåäû.
Äëÿ òàêèõ ñðåä îðìóëà (4.1) ïðèíèìàåò ñ ó÷åòîì (4.2) âèä
                             Zt2        Z
                      Q1 =         dt        kgradT · ndS.
                             t1         Γ

  Èñïîëüçóÿ îðìóëó àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî [19, ñ.192℄
                     Z           Z
                        divvdx = v · ndS                          (4.3)
                        Ω                         Γ

äëÿ äèåðåíöèðóåìîãî â Ω âåêòîðíîãî ïîëÿ v, â êîòîðîé ñëåäóåò ïîëî-
æèòü v = kgradT , âûðàæåíèå äëÿ Q1 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                            Zt2        Z
                     Q1 =         dt         div(kgradT )dx.      (4.4)
                            t1         Ω

Ôîðìóëà (4.4) îïèñûâàåò êîëè÷åñòâî òåïëà, ïîñòóïàþùåå â îáëàñòü Ω çà
ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò t1 äî t2 , âñëåäñòâèå ïîòîêîâ òåïëà, âûçûâàåìûõ
íåðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû â D.
   Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî â îáëàñòè Ω ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ
îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ F . Òîãäà êîëè÷åñòâî òåïëà Q2 , âûäåëÿåìîå èìè â
îáëàñòü Ω çà âðåìÿ ∆t = t2 − t1 , áóäåò ðàâíî
                                       Zt2        Z
                            Q2 =             dt       F dx.
                                       t1         Ω

   ßñíî, ÷òî ïîëó÷àåìîå îáëàñòüþ Ω òåïëî èäåò íà íàãðåâ ñðåäû, ò. å. íà
óâåëè÷åíèå åå òåìïåðàòóðû. Åñëè â ìîìåíò t1 òåìïåðàòóðà â ïðîèçâîëüíîé

                                             38

Страницы