Классические методы математической физики - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρc
∂T
∂t
=
∂
∂x
k
∂T
∂x
+
∂
∂y
k
∂T
∂y
+
∂
∂z
k
∂T
∂z
+ F.
ρ, c k
∂T
∂t
= a
2
∆T + f,
a =
p
k/ρc f = F/ρc
a
2
f = 0
∂T
∂t
= a
2
∆T
R
3
Ω = R
3
T |
t=0
= T
0
(x), x ∈ Ω,
Ω = R
3
Ω R
3
Γ = ∂Ω Γ
αT + β
∂T
∂n
= g
Γ.
α, β g Γ
β = 0 α = 1
β = k|
Γ
α = 0 β = k|
Γ
α 6= 0
α = 1 β = 0
Γ α = 0 β = k|
Γ
Γ
  Â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå (4.7) èìååò âèä
                                                   
            ∂T    ∂      ∂T     ∂      ∂T     ∂      ∂T
         ρc    =       k      +      k      +      k      + F.         (4.8)
            ∂t    ∂x     ∂x     ∂y     ∂y     ∂z     ∂z
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ñðåäà îäíîðîäíà, òàê ÷òî âåëè÷èíû ρ, c è k åñòü
êîíñòàíòû, óðàâíåíèå (4.7) ïðèíèìàåò âèä
                             ∂T
                                = a2 ∆T + f,                           (4.9)
                             ∂t
ãäå a = k/ρc, f = F/ρc. Óðàâíåíèå (4.9) íàçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì óðàâ-
       p
íåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè, à a2 íàçûâàåòñÿ êîýèöèåíòîì òåìïåðàòóðî-
ïðîâîäíîñòè. Åñëè îáúåìíûå èñòî÷íèêè òåïëà îòñóòñòâóþò, òàê ÷òî f = 0,
òî óðàâíåíèå (4.9) ñòàíîâèòñÿ îäíîðîäíûì. Óêàçàííîå óðàâíåíèå
                             ∂T
                                 = a2 ∆T                         (4.10)
                              ∂t
ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøèì è â òî æå âðåìÿ ïðîñòåéøèì ïðåäñòàâèòåëåì óðàâíå-
íèé ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà ñîãëàñíî êëàññèèêàöèè, ïðèâåäåííîé â ãë. 2.
   Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.7) íåîáõîäèìî çà-
äàâàòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ
òåïëà ðàññìàòðèâàåòñÿ âî âñåì ïðîñòðàíñòâå R3 , òàê ÷òî Ω = R3 , ðîëü
òàêèõ óñëîâèé èãðàåò íà÷àëüíîå óñëîâèå
                          T |t=0 = T0(x), x ∈ Ω,                      (4.11)
à çàäà÷à (4.7), (4.11) ïðè Ω = R3 íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ
(4.7). Åñëè ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà ðàññìàòðèâàåòñÿ â íåêîòîðîé
îáëàñòè Ω ïðîñòðàíñòâà R3 ñ ãðàíèöåé Γ = ∂Ω, òî íà ãðàíèöå Γ ñëåäóåò
çàäàâàòü êðàåâûå óñëîâèÿ, èìåþùèå â îáùåì ñëó÷àå âèä (ñð. ñ (3.23)):
                                   ∂T
                          αT + β      =g    íà Γ.                     (4.12)
                                   ∂n
Çäåñü α, β è g  çàäàííûå íà Γ óíêöèè. Çàäà÷à (4.7), (4.11), (4.12) íàçûâà-
åòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèÿ (4.7): ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷åé
èëè çàäà÷åé Äèðèõëå ïðè β = 0, α = 1, âòîðîé êðàåâîé çàäà÷åé èëè çàäà-
÷åé Íåéìàíà ïðè β = k|Γ , α = 0 è òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷åé ïðè β = k|Γ ,
α 6= 0.
    èçè÷åñêîì ïëàíå óñëîâèå Äèðèõëå (α = 1, β = 0) â (4.12) îòâå÷àåò
çàäàíèþ òåìïåðàòóðû íà ãðàíèöå Γ, óñëîâèå Íåéìàíà (α = 0, β = k|Γ )
â (4.12) îòâå÷àåò çàäàíèþ òåïëîâîãî ïîòîêà íà Γ, íàêîíåö, óñëîâèå 3-ãî
ðîäà îçíà÷àåò, ÷òî íà ãðàíèöå ïðîèñõîäèò òåïëîîáìåí ñ âíåøíåé ñðåäîé,
òåìïåðàòóðà êîòîðîé èçâåñòíà. Ïîäðîáíåå î èçè÷åñêîì ñìûñëå ðàçëè÷íûõ

                                     40

Страницы