Классические методы математической физики - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω Ω
e
= D\Ω
u = u(x, t) x t
dS Γ Ω
−T u · ndS Q
3
∆t = t
2
− t
1
Ω
Q
3
= −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Γ
T u · ndS = −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div( T u)dx.
Q = Q
1
+ Q
2
+ Q
3
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
ρc
∂T
∂t
dx =
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div( kgradT)dx+
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
F dx−
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div( T u)dx.
ρc
∂T
∂t
= div( kgradT) − div(T u) + F.
Ω
u
u = 0
div( ϕu) = u · gradϕ + ϕdivu,
(T u) = u · gr adT
ρc
∂T
∂t
= div( kgradT) − u · gradT + F.
∂T/∂t =
0
div( kgradT ) − div(T u) = −F.
F
µ
ïåðåíîñà òåïëà äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî òåïëà, âíîñèìîå â îá-
ëàñòü Ω ñî ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ ÷àñòè Ωe = D\Ω äâèæóùèìèñÿ ÷àñòèöàìè.
Îáîçíà÷èâ ÷åðåç u = u(x, t) ñêîðîñòü æèäêîñòè â òî÷êå x â ìîìåíò t, çàìå-
òèì ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ èçè÷åñêèì ñìûñëîì ïîòîê òåïëà, ïåðåíîñèìîãî
äâèæóùèìèñÿ ÷àñòèöàìè ÷åðåç ýëåìåíò dS ãðàíèöû Γ îáëàñòè Ω â åäèíèöó
âðåìåíè, ðàâåí −T u · ndS .  òàêîì ñëó÷àå êîëè÷åñòâî òåïëà Q3 , ïîñòóïà-
þùåå çà âðåìÿ ∆t = t2 − t1 â îáëàñòü Ω çà ñ÷åò êîíâåêöèè, îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé
                               Zt2        Z                   Zt2        Z
                  Q3 = −             dt       T u · ndS = −         dt       div(T u)dx.       (4.18)
                               t1         Γ                   t1         Ω

Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàêîí ñîõðàíåíèÿ òåïëà ïðèíèìàåò âèä: Q = Q1 + Q2 + Q3
èëè
Zt2                      Zt2                             Zt2 Z    Zt2 Z
                 ∂T
           Z                         Z
      dt       ρc dx =         dt         div(kgradT )dx+ dt F dx− dt div(T u)dx.
                 ∂t
t1         Ω             t1          Ω                        t1         Ω        t1       Ω

Ïðèìåíÿÿ ê ýòîìó ñîîòíîøåíèþ ëåììó 1.1, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
                               ∂T
                          ρc      = div(kgradT ) − div(T u) + F.                               (4.19)
                               ∂t
   Óðàâíåíèå (4.19) ÿâëÿåòñÿ óñëîæíåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïè-
ñûâàþùåé ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â îáëàñòè Ω çà ñ÷åò ìîëåêó-
ëÿðíîé äèóçèè, êîíâåêöèè è äåéñòâèÿ îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ òåïëà. Â
÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà æèäêîñòü íåñæèìàåìà, òàê ÷òî ñêîðîñòü u óäîâëå-
òâîðÿåò óñëîâèþ íåñæèìàåìîñòè divu = 0, èìååì â ñèëó èçâåñòíîé îðìó-
ëû [16, ñ.311℄
                      div(ϕu) = u · gradϕ + ϕdivu,              (4.20)
÷òî div(T u) = u · gradT . Ñ ó÷åòîì ýòîãî (4.19) ïðèíèìàåò âèä
                               ∂T
                         ρc       = div(kgradT ) − u · gradT + F.                              (4.21)
                               ∂t
Åñëè æå ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, òàê ÷òî ∂T /∂t =
0, òî (4.19) ïðèíèìàåò âèä
                                    div(kgradT ) − div(T u) = −F.
      Çàìå÷àíèå 4.1.Áîëåå òî÷íûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîöåññ ïåðåíî-
ñà òåïëà â âÿçêîé æèäêîñòè ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåõîäîì êèíåòè÷åñêîé ýíåð-
ãèè æèäêîñòè â ðàáîòó ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ. Ïîñëåäíåå ïðèâîäèò ê ïîÿâëå-
íèþ â æèäêîñòè äîïîëíèòåëüíîãî èñòî÷íèêà òåïëà, îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü Fµ

                                                     42

Страницы