Классические методы математической физики - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
T x, y
t
∂T
∂t
= a
2
∂
2
T
∂x
2
+
∂
2
T
∂y
2
+ f.
T x t
∂T
∂t
= a
2
∂
2
T
∂x
2
+ f.
T t
div( kgradT) ≡
∂
∂x
k
∂T
∂x
+
∂
∂y
k
∂T
∂y
+
∂
∂z
k
∂T
∂z
= −F.
k = const
∆T = −f,
f = F/k
l
d
2
T
dx
2
= −f, T (0) = T(l) = 0.
T
Ω
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ òåìïåðàòóðû T ìîæíî ïðî÷èòàòü â [21, ñ.2728℄,
[22, ñ.1516℄, [56, ñ.196202℄.
    ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà òåìïåðàòóðà T çàâèñèò ëèøü îò êîîðäèíàò x, y
è âðåìåíè t, ÷òî èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
òåïëà â òîíêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíå èëè ìåìáðàíå, (4.9) ïðèíèìàåò âèä
äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
                                    2      2
                                                
                          ∂T        ∂  T  ∂   T
                              = a2       + 2 + f.                (4.13)
                           ∂t       ∂x2   ∂y
Íàêîíåö, äëÿ îäíîìåðíîãî îäíîðîäíîãî òåëà, íàïðèìåð, äëÿ îäíîðîäíîãî
ñòåðæíÿ, êîãäà T çàâèñèò òîëüêî îò x è t, (4.9) ïåðåõîäèò â îäíîìåðíîå
óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
                             ∂T       ∂ 2T
                                 = a2 2 + f.                        (4.14)
                             ∂t       ∂x
Ñëåäóåò, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèÿ (4.13) è (4.14) íå ó÷èòûâàþò
òåïëîîáìåí ìåæäó ïîâåðõíîñòüþ ïëàñòèíêè èëè ñòåðæíÿ ñ îêðóæàþùåé
ñðåäîé (òî÷íåå ìû ïðåíåáðåãàåì èì ïðè âûâîäå ýòèõ óðàâíåíèé).
    ðÿäå ñëó÷àåâ çàâèñèìîñòüþ òåìïåðàòóðû T îò âðåìåíè t ìîæíî ïðåíå-
áðå÷ü.  ýòèõ ñëó÷àÿõ (4.7) ëèáî (4.8) ïåðåõîäèò â ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå
                                                     
                    ∂     ∂T      ∂      ∂T     ∂      ∂T
    div(kgradT ) ≡      k      +       k      +      k      = −F.   (4.15)
                   ∂x     ∂x     ∂y      ∂y     ∂z     ∂z
 ñëó÷àå, êîãäà k = const, (4.15) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå Ïóàññîíà
                                ∆T = −f,                             (4.16)
ãäå f = F/k .  îáîèõ ñëó÷àÿõ íà÷àëüíîå óñëîâèå (4.11), åñòåñòâåííî, ñíèìà-
åòñÿ, òàê ÷òî èçó÷åíèå ïðîöåññà ïåðåíîñà òåïëà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êðà-
åâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè (4.15) ëèáî
óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (4.16).  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, îòâå÷àþùåì ðàñïðåäåëå-
íèþ òåìïåðàòóðû â îäíîìåðíîì ñòåðæíå äëèíû l, óðàâíåíèå (4.16) âìåñòå ñ
ïðîñòåéøèì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì 1-ãî ðîäà â (4.12) ïðèíèìàåò âèä êðàåâîé
çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà:
                       d2 T
                            = −f, T (0) = T (l) = 0.              (4.17)
                        dx2
 ðàíè÷íûå óñëîâèÿ â (4.17) îçíà÷àþò, ÷òî òåìïåðàòóðà T íà êîíöàõ ñòåðæ-
íÿ, â êîòîðîì èçó÷àåòñÿ òåïëîâîé ïðîöåññ, ïîääåðæèâàåòñÿ ðàâíîé íóëþ.
   Óðàâíåíèÿ (4.7), (4.15) îòíîñÿòñÿ ê ñëó÷àþ, êîãäà æèäêàÿ ñðåäà íàõî-
äèòñÿ â ïîêîå. Åñëè æèäêîñòü, çàíèìàþùàÿ îáëàñòü Ω, íàõîäèòñÿ â äâèæå-
íèè, òî âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíûé ìåõàíèçì ïåðåíîñà òåïëà çà ñ÷åò äâèæó-
ùèõñÿ ÷àñòèö æèäêîñòè.  èçèêå óêàçàííûé ìåõàíèçì íàçûâàåòñÿ (òåï-
ëîâîé) êîíâåêöèåé. Äëÿ âûâîäà ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè

                                    41

Страницы