Классические методы математической физики - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x Ω T
1
(x) t
2
T
2
(x)
Q
Q =
Z
Ω
ρc(T
2
− T
1
)dx ≡
Z
Ω
ρc
t
2
Z
t
1
∂T
∂t
dtdx =
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
ρc
∂T
∂t
dx.
ρ c
x ∈ D
Ω Q = Q
1
+ Q
2
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
ρc
∂T
∂t
dx =
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div(kgradT )dx +
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
F dx.
Ω
∆t = t
2
− t
1
Ω Γ
Ω ∆t
F
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
ρc
∂T
∂t
− div( kgradT) − F
dx = 0,
D Ω
Γ
D
ρc
∂T
∂t
= div(kgradT) + F.
D
ρ c x
k t
T
òî÷êå x îáëàñòè Ω ðàâíà T1 (x), à â ìîìåíò t2 ðàâíà T2 (x), òî êîëè÷åñòâî
òåïëà, íåîáõîäèìîå äëÿ óêàçàííîãî óâåëè÷åíèÿ òåìïåðàòóðû, ðàâíî â ñèëó
çàêîíîâ òåðìîäèíàìèêè Q, ãäå
                                                          Zt2               Zt2
                                                                ∂T                              ∂T
          Z                                     Z                                      Z
     Q=           ρc(T2 − T1)dx ≡                   ρc             dtdx =         dt       ρc      dx.      (4.5)
                                                                ∂t                              ∂t
             Ω                                  Ω         t1                t1         Ω

Çäåñü ïàðàìåòðû ρ (ïëîòíîñòü ñðåäû) è c (êîýèöèåíò óäåëüíîé òåïëî-
åìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè) ÿâëÿþòñÿ â îáùåì ñëó÷àå óíêöèÿìè
îò x ∈ D.
   Â ñèëó óíäàìåíòàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òåïëà, ïðèìåíåííîãî ê
îáëàñòè Ω, äîëæíî âûïîëíÿòñÿ ñîîòíîøåíèå: Q = Q1 + Q2 , èëè
        Zt2                                Zt2                                     Zt2
                             ∂T
                      Z                               Z                                         Z
                 dt        ρc dx =               dt        div(kgradT )dx +                dt       F dx.   (4.6)
                             ∂t
        t1            Ω                    t1         Ω                            t1           Ω

Îíî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì áàëàíñà òåïëà. Â ñëîâåñíîé îðìå ñîîòíîøå-
íèå (4.6) ìîæíî âûðàçèòü òàê: èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà òåïëà â îáëàñòè Ω çà
âðåìÿ ∆t = t2 − t1 (ñì. ëåâóþ ÷àñòü â (4.6)) îáóñëîâëåíî ïðèòîêîì òåïëà
â îáëàñòü Ω ÷åðåç ãðàíè÷íóþ ïîâåðõíîñòü Γ çà ñ÷åò ìîëåêóëÿðíîé äè-
óçèè, è êîëè÷åñòâîì òåïëà, âûäåëèâøèìñÿ â Ω çà âðåìÿ ∆t â ðåçóëüòàòå
äåéñòâèÿ îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F .
   Ïåðåïèñàâ ñîîòíîøåíèå (4.6) â âèäå
                          Zt2      Z                         
                                         ∂T
                                dt    ρc    − div(kgradT ) − F dx = 0,
                                         ∂t
                          t1      Ω

ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ çäåñü ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé
â îáëàñòè D. Ïîñêîëüêó â ýòîì ñîîòíîøåíèè Ω  ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü ñ
êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ, òî òåì ñàìûì ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ ëåì-
ìû 1.1. Ñîãëàñíî ýòîé ëåììå óêàçàííàÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ ðàâíà
íóëþ âñþäó â îáëàñòè D, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
                                           ∂T
                                      ρc      = div(kgradT ) + F.                                           (4.7)
                                           ∂t
Óðàâíåíèå (4.7) è ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ, îïèñûâàþ-
ùåé ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â îáëàñòè D. Êàê óæå óêàçûâàëîñü,
êîýèöèåíòû ρ è c â (4.7) ÿâëÿþòñÿ â îáùåì ñëó÷àå óíêöèÿìè îò x, à
êîýèöèåíò k ê òîìó æå ìîæåò çàâèñèòü è îò t, à òàêæå ñàìîé òåìïåðà-
òóðû T . Ïîýòîìó (4.7) ÿâëÿåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì.

                                                               39

Страницы