Классические методы математической физики - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F
µ
= 2µ
3
X
i,j=1
(
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
).
u
i
µ
F
µ
ρc
∂T
∂t
= div(kgradT ) − div(T u) + F + F
µ
.
u
T
T u
C
C /
3
J
J =
−ηg radC η
x Ω t
C
R
1
(t
1
, t
2
) Ω Γ
Ω
e
Ω
R
1
= −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Γ
J · ndS = −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
divJdx =
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div( ηgr adC)dx.
Ω F
C
R
2
Ω (t
1
, t
2
)
R
3
Ω
R
2
=
t
2
Z
t
1
Z
Ω
F
C
dxdt, R
3
= −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Γ
Cu · ndS = −
t
2
Z
t
1
dt
Z
Ω
div( Cu)dx.
êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé [40, ñ.10℄
                                           3
                                        X      ∂ui ∂uj
                                Fµ = 2µ      (      +      ).                                      (4.22)
                                        i,j=1
                                               ∂x j   ∂x i

Çäåñü ui  êîìïîíåíòû ñêîðîñòè u, µ  äèíàìè÷åñêèé êîýèöèåíò âÿç-
êîñòè (ñì. Ÿ 5), à óíêöèÿ Fµ íîñèò íàçâàíèå äèññèïàòèâíîé óíêöèè. Ñ
ó÷åòîì ýòîãî áîëåå òî÷íàÿ ìîäåëü ïåðåíîñà òåïëà â äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè
èìååò âèä
                      ∂T
                   ρc    = div(kgradT ) − div(T u) + F + Fµ .        (4.23)
                      ∂t
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñêîðîñòü u, âõîäÿùàÿ â (4.19),
ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíîé âåêòîð-óíêöèåé âìåñòå ñ T , (4.19) ëèáî (4.23) ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé íåçàìêíóòóþ ìîäåëü îòíîñèòåëüíî óíêöèé T è u. Âîïðîñ
î çàìûêàíèè ýòîé ìîäåëè áóäåò ðàññìîòðåí ⠟ 5.
    4.2. Ìîäåëè êîíâåêöèè-äèóçèè âåùåñòâà. Âûâåäåì çäåñü ìà-
òåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü, îïèñûâàþùóþ ïðîöåññ ïåðåíîñà â æèäêîñòè êàêîãî-
ëèáî âåùåñòâà, íàïðèìåð, çàãðÿçíÿþùåé ïðèìåñè. Íàëè÷èå ýòîãî âåùå-
ñòâà â æèäêîñòè îïèñûâàåòñÿ åãî êîíöåíòðàöèåé C , èìåþùåé ðàçìåðíîñòü
[C ℄=êã/ì3 â ñèñòåìå ÑÈ. Êàê è â ñëó÷àå òåïëîïåðåíîñà, áóäåì ðàññìàò-
ðèâàòü ñëåäóþùèå ìåõàíèçìû ïåðåíîñà âåùåñòâà: äèóçèþ, êîíâåêöèþ è
âíóòðåííèå èñòî÷íèêè.
    Îáîçíà÷èì ÷åðåç J âåêòîð ïîòîêà âåùåñòâà çà ñ÷åò äèóçèè. Èçâåñò-
íî, ÷òî îí ñâÿçàí ñ êîíöåíòðàöèåé çàêîíîì Ôèêà (íàçâàííîãî òàê â ÷åñòü
íåìåöêîãî èçèêà A. Fi k, îòêðûâøåãî åãî â 1855 ã.), èìåþùèì âèä J =
−ηgradC . Çäåñü ïàðàìåòð η , èìåþùèé ñìûñë êîýèöèåíòà äèóçèè,
çàâèñèò â îáùåì ñëó÷àå êàê îò òî÷åê x îáëàñòè Ω è âðåìåíè t, òàê è îò
êîíöåíòðàöèè C . àññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì â ï. 4.1, ïîêàçû-
âàþò, ÷òî êîëè÷åñòâî R1 âåùåñòâà, ïîñòóïàþùåãî çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè
(t1, t2 ) â ïðîèçâîëüíóþ îáëàñòü Ω ñ ãðàíèöåé Γ ñî ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ ïîä-
îáëàñòè Ωe îáëàñòè Ω çà ñ÷åò äèóçèè, îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé
            Zt2        Z                 Zt2        Z               Zt2        Z
   R1 = −         dt       J · ndS = −         dt        divJdx =         dt       div(ηgradC)dx.
            t1         Γ                 t1         Ω               t1         Ω

Åñëè âíóòðè Ω èìåþòñÿ èñòî÷íèêè âåùåñòâà ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ FC ,
âûðàáàòûâàþùèå ýòî âåùåñòâî, òî ïîëíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà R2 , âíîñè-
ìîå èìè â Ω çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t1 , t2 ) , à òàêæå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà
R3 , ïåðåíîñèìîå â Ω çà ñ÷åò êîíâåêöèè, îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
          Zt2 Z                          Zt2        Z                      Zt2          Z
   R2 =           FC dxdt, R3 = −              dt        Cu · ndS = −              dt       div(Cu)dx.
          t1 Ω                           t1         Γ                      t1           Ω

                                                    43

Страницы