Классические методы математической физики - 35 стр.

íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (3.14), óäîâëåòâîðÿþùåãî îáùåìó ãðà-
íè÷íîìó óñëîâèþ
                                  ∂u
                           αu + β    = g íà Γ.                      (3.23)
                                  ∂n
Çäåñü α, β è g  çàäàííûå óíêöèè íà ãðàíèöå Γ. Óñëîâèå (3.23), î÷åâèäíî,
îáúåäèíÿåò âñå ââåäåííûå âûøå óñëîâèÿ (3.20)(3.22).  ÷àñòíîñòè, ïðè
α = 1, β = 0 îíî ïåðåõîäèò â (3.20), ïðè α = 0, β = 1 îíî ïåðåõîäèò â
(3.21), ïðè β = 1, α 6≡ 0 îíî ïåðåõîäèò â (3.22). ×òî êàñàåòñÿ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E, òî ê ýòîìó âîïðîñó ìû âåðíåìñÿ ⠟ 7
ïðè îáñóæäåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
   Çàìå÷àíèå 3.2. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òîò âàæíûé àêò, ÷òî ãðàíè÷-
íûå óñëîâèÿ (3.20)(3.23) ñòàâÿòñÿ è èìåþò èçè÷åñêèé ñìûñë èìåííî äëÿ
ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà. Òàê, íàïðèìåð, óñëîâèå (3.20) ïðè g = 0
èçè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òî ãðàíèöà Γ ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé èëè çà-
çåìëåííîé, ò. å. ñâîåãî ðîäà ýêðàíîì äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ [38℄. ×òî êà-
ñàåòñÿ ãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà u, òî îòâå÷àþùåå åìó óðàâíåíèå Ïóàñ-
ñîíà (3.12) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü âî âñåì ïðîñòðàíñòâå R3 áåç êàêèõ-ëèáî
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Äåéñòâèòåëüíî, âðÿä ëè ìîæíî ñîçäàòü òàêîé ýêðàí,
êîòîðûé áû ïîëíîñòüþ ýêðàíèðîâàë â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà äåé-
ñòâèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.
   Çàìå÷àíèå 3.3. Íèæå â ãë. 2 ìû ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå Ïóàññîíà
(3.14) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïðåäñòàâèòåëåì òàê íàçûâàåìîãî óðàâíåíèÿ
ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà, òàê ÷òî (3.14), (3.23) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïòè÷å-
ñêóþ êðàåâóþ çàäà÷ó. Äàííàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ çàäà÷à ïîäðîáíî èçó÷àåòñÿ
â êóðñå äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ãäå ïîêà-
çàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ åñòåñòâåííûõ óñëîâèÿõ íà èñõîäíûå äàííûå îíà
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (ïîòåíöèàë u), íåïðåðûâíî çàâèñÿùåå îò èñ-
õîäíûõ äàííûõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ çàäà÷à (3.14),
(3.23) êîððåêòíî ïîñòàâëåíà.  äàííîé êíèãå ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè çà-
äà÷à (3.14), (3.23) áóäåò èçó÷àòüñÿ â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Ê èõ
÷èñëó îòíîñèòñÿ çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ êàíîíè÷åñêîé îáëàñòè òèïà êðóãà â
R2 ëèáî øàðà â R3 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòèõ ñëó÷àÿõ òî÷íîå ðåøåíèå
ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (3.14) ñóùåñòâó-
åò è, áîëåå òîãî, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðÿäà Ôóðüå. Èìåííî
ýòèì âîïðîñîì ìû çàéìåìñÿ äåòàëüíî â ãë. 6. ×òî êàñàåòñÿ îáùåé çàäà-
÷è (3.14), (3.23) â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè Ω, òî íàéòè åå òî÷íîå ðåøåíèå
â ÿâíîì âèäå ñðåäñòâàìè ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó
äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåííûå
ìåòîäû, íàïðèìåð, ÷èñëåííûå ìåòîäû, îðèåíòèðîâàííûå íà ÝÂÌ. Ýòî ñî-
ñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå êóðñà ×èñëåííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè
(ñì., íàïðèìåð, [44℄).
   Çàìå÷àíèå 3.4.  ñëó÷àå, êîãäà Ω ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñòüþ,


                                    35