Классические методы математической физики - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρ = 0
i = 1
f (x
1
, m
1
) (x
2
, m
2
)
f = −γm
1
m
2
x
2
− x
1
|x
2
− x
1
|
3
⇒ f = |f| = γ
m
1
m
2
r
2
.
m
1
m
2
x
1
x
2
r = |x
1
−x
2
|
r
m
1
m
2
q
1
q
2
γ
u
∆u = −
ρ
e
ε
0
ε
.
ρ
e
ε
ε
0
E
u
E = −gradu.
E divE
íàçâàííîìó â ÷åñòü ðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà S.D. Poisson (17811840). Âíå
ïðèòÿãèâàþùèõ ìàññ, ãäå ρ = 0, óðàâíåíèå (3.12) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå
Ëàïëàñà (3.10). Ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå Ïóàññîíà (3.12) è óðàâíåíèå
Ëàïëàñà (3.10) ÿâëÿþòñÿ ïðîñòåéøèìè è â òî æå âðåìÿ íàèáîëåå ÿðêèìè
ïðåäñòàâèòåëÿìè óðàâíåíèé ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà ñîãëàñíî îáùåïðèíÿòîé
êëàññèèêàöèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðè-
âåäåííîé â ãë. 2.
   Çàìå÷àíèå 3.1. Èç îðìóëû (3.8) ïðè i = 1 âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî
ñèëà f ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû òåëà (x1 , m1 ) íà òåëî (x2 , m2 )
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè
                             x2 − x1                  m1 m2
               f = −γm1m2               ⇒ f = |f| = γ       .         (3.13)
                            |x2 − x1 |3                r2
Âòîðàÿ îðìóëà â (3.13) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé õîðîøî èçâåñòíóþ èç øêîëü-
íîé ìåõàíèêè îðìóëó äëÿ âåëè÷èíû ñèëû ïðèòÿæåíèÿ äâóõ òî÷å÷íûõ
ìàññ m1 è m2 , ðàñïîëîæåííûõ â òî÷êàõ x1 è x2 íà ðàññòîÿíèè r = |x1 − x2 |
äðóã îò äðóãà.
   3.2. Ìîäåëè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.  èçèêå èìååòñÿ åùå îä-
íà îáëàñòü, â êîòîðîé ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè òàê æå,
êàê è â òåîðèè òÿãîòåíèÿ, îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (3.13), ãäå r  ðàñ-
ñòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òåëàìè. Ýòèì ðàçäåëîì ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîñòàòèêà.
Ïðè ýòîì m1 è m2 èìåþò ñìûñë ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ ðàññìàòðèâàåìûõ
ìàòåðèàëüíûõ òåë, êîòîðûå â èçèêå îáû÷íî îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç q1 è q2 ,
à γ èìååò ñìûñë íåêîòîðîé ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ïîñòîÿííîé, çàâèñÿùåé îò
âûáîðà ñèñòåìû åäèíèö. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèÿ (3.13)
îïèñûâàþò çàêîí ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ çàðÿæåííûõ
òåë, êîòîðûé ÷àñòî íàçûâàþò çàêîíîì Êóëîíà ïî èìåíè ðàíöóçñêîãî è-
çèêà S.O.Coulomb (17361806), îòêðûâøåãî ýòîò çàêîí. Êàê â ãðàâèòàöèîí-
íîì ñëó÷àå, äëÿ îïèñàíèÿ óêàçàííîãî çàêîíà ìîæíî ââåñòè ýëåêòðîñòàòè-
÷åñêèé èëè êóëîíîâ ïîòåíöèàë u, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ Ïóàññîíà
âèäà
                                      ρe
                              ∆u = − .                             (3.14)
                                      ε0 ε
Çäåñü ρe èìååò ñìûñë ïëîòíîñòè çàðÿäîâ, ε  äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöà-
åìîñòü ñðåäû, ε0  ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ (ñì. îá ýòèõ âåëè÷èíàõ ïî-
äðîáíåå ⠟ 7).
   Îñíîâíîé ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêîé ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿåò-
ñÿ âåêòîð íàïðÿæåííîñòè E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñâÿçàííûé ñ êóëîíîâûì
ïîòåíöèàëîì u îðìóëîé
                              E = −gradu.                          (3.15)
Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ñ êàæäûì äèåðåíöèðóåìûì
âåêòîðíûì ïîëåì E ìîæíî ñâÿçàòü ñêàëÿðíîå ïîëå divE, îïðåäåëÿåìîå â

                                     33

Страницы