Классические методы математической физики - 46 стр.

  Ÿ5. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äâèæåíèÿ æèäêîñòè è
                       ãàçîâ
  5.1. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ ìàòåìàòè÷å-
ñêèõ ìîäåëåé äâèæåíèÿ æèäêîñòè.          Êàê èçâåñòíî, æèäêîñòü èëè ãàç
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö (ìîëåêóë, àòî-
ìîâ, èîíîâ), íàõîäÿùèõñÿ â íåïðåðûâíîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè. Ïîýòîìó
äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îõàðàêòåðèçîâàòü ñîñòîÿíèå æèäêîñòè â äàí-
íûé ìîìåíò âðåìåíè, íåîáõîäèìî çàäàòü ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü êàæäîé
÷àñòèöû æèäêîñòè. Èç-çà îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà ÷àñòèö ýòî ïðàêòè÷åñêè
íåâîçìîæíî îñóùåñòâèòü. Ñ ó÷åòîì ýòîãî äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ æèä-
êîñòè ïðèìåíÿþò ñïåöèàëüíûå ïðèáëèæåííûå ìåòîäû. Èç íèõ íàèáîëåå
ðàñïðîñòðàíåíû äâà: åíîìåíîëîãè÷åñêèé è ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêèé.
Ñîãëàñíî ïåðâîìó ïîäõîäó, êîòîðûé îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðåòè÷åñêîé
ãèäðîäèíàìèêå  íàóêå î äâèæåíèè æèäêîñòåé è ãàçîâ, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ÷à-
ñòèöû, ñîñòàâëÿþùèå æèäêîñòü, íåïðåðûâíûì îáðàçîì çàïîëíÿþò åå îáú-
åì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî æèäêîñòü ìîäåëèðóåòñÿ ñïëîøíîé ñðåäîé, ïðè ýòîì åå
îñíîâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x â ìîìåíò t ÿâëÿþòñÿ
ñêîðîñòü u = u(x, t), ïëîòíîñòü ρ = ρ(x, t) è äàâëåíèå p = p(x, t), èìåþ-
ùèå â ñèñòåìå ÑÈ ñîîòâåòñòâåííî ðàçìåðíîñòè: ì/ñåê, êã/ì3 è Í/ì2 , ãäå
Í=êã·ì/ñåê2  ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå íüþòîíà êàê åäèíèöû ñèëû. Êðî-
ìå óêàçàííûõ îñíîâíûõ âåëè÷èí, èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå
õàðàêòåðèñòèêè: òåìïåðàòóðà T , ýíòðîïèÿ s, ñîëåíîñòü S , êîíöåíòðàöèÿ C
çàãðÿçíÿþùåãî âåùåñòâà â æèäêîñòè è ò. ä. àçìåðíîñòè ýòèõ âåëè÷èí â
ñèñòåìå ÑÈ ìîæíî íàéòè â òàáëèöå 5.1.
    ðåçóëüòàòå çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ òîé èëè èíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ãèäðî-
äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè ñâîäèòñÿ ê âûâîäó ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû äè-
åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ óíêöèé u, p, ρ, . . . , îñ-
íîâûâàÿñü íà òåõ óíäàìåíòàëüíûõ çàêîíàõ, êîòîðûå îïèñûâàþò ïðîöåññ
äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé æèäêîñòè.  êà÷åñòâå óêàçàííûõ çàêîíîâ èñ-
ïîëüçóþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èìïóëüñà, ýíåðãèè è ò. ä. Â ñîîò-
âåòñòâèè ñ âûøåñêàçàííûì, ìû íà÷íåì èçëîæåíèå ñ âûâîäà îáùåãî ãèä-
ðîäèíàìè÷åñêîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ. Îí èìååò äâå îðìû: èíòåãðàëüíóþ,
îòíîñÿùóþñÿ ê ïðîèçâîëüíîìó îáúåìó, çàíèìàåìîìó æèäêîñòüþ, è äèå-
ðåíöèàëüíóþ, îòíîñÿùóþñÿ ê ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x ðàññìàòðèâàåìîé îá-
ëàñòè, è èìåþùóþ âèä ñîîòâåòñòâóþùåãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ óíêöèé.
   5.2. Îáùèé çàêîí ñîõðàíåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî æèäêîñòü çàíèìà-
åò íåêîòîðóþ îáëàñòü D ⊂ R3 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ïðîèçâîëüíóþ åå ïîä-
îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ, íåèçìåííîé âî âðåìåíè. Îáû÷íûì
îáðàçîì, êàê ýòî ïðèíÿòî â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä [40℄, îïðåäåëÿþòñÿ
áåñêîíå÷íî ìàëûå ýëåìåíòû îáúåìà è ïîâåðõíîñòè, à òàêæå ïîíÿòèå äâèæó-
ùåéñÿ ÷àñòèöû. Ïóñòü ψ  ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ âå-

                                   46