Классические методы математической физики - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ψ(t) =
R
Ω
ψ(x, t)dx
ψ Ω
ψ(x, t)
Ψ(t) x t q
Ψ
Ψ Ω t t + ∆t
Ψ
t+∆t
Z
t
dt
Z
Ω
qdx,
Ψ Γ
n
Γ Ψ
dS n ψu · ndS
u Ψ Ω
Γ t
t + ∆t
−
t+∆t
Z
t
dt
Z
Γ
ψu · ndS = −
t+∆t
Z
t
dt
Z
Ω
div( ψu)dx.
− n
Ψ
∆t Ψ Ω
Ψ(t + ∆t) − Ψ(t) =
t+∆t
Z
t
dt
Z
Ω
qdx −
t+∆t
Z
t
dt
Z
Ω
div( ψu)dS.
∆t ∆t → 0
lim
∆t→0
Ψ(t + ∆t) − Ψ(t)
∆t
≡
dΨ
dt
=
d
dt
Z
Ω
ψdx =
Z
Ω
qdx −
Z
Ω
div( ψu)dx,
Z
Ω
[
∂ψ
∂t
+ div(ψu) − q]dx = 0.
ëè÷èíà, îòíåñåííàÿ ê åäèíèöå îáúåìà. Òîãäà èíòåãðàë Ψ(t) = Ω ψ(x, t)dx
                                                          R
áóäåò èìåòü ñìûñë êîëè÷åñòâà âåëè÷èíû ψ â îáëàñòè Ω.  ñâîþ î÷åðåäü,
íà ψ(x, t) ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà îáúåìíóþ ïëîòíîñòü èíòåãðàëüíîé âå-
ëè÷èíû Ψ(t) â òî÷êå x â ìîìåíò âðåìåíè t. Îáîçíà÷èì ÷åðåç q ïëîòíîñòü
îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ âåëè÷èíû Ψ.  ñèëó îáùåãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïðè-
ðàùåíèå âåëè÷èíû Ψ â îáëàñòè Ω çà âðåìÿ îò t äî t + ∆t ïðîèñõîäèò çà
ñ÷åò äåéñòâèÿ îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ, èçìåíÿþùèõ Ψ íà âåëè÷èíó
                                      t+∆t
                                      Z            Z
                                           dt           qdx,
                                      t            Ω

è çà ñ÷åò ïîòîêà âåëè÷èíû Ψ ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Γ ñî ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ
÷àñòè æèäêîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç n åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê
ïîâåðõíîñòè Γ. Ïî îïðåäåëåíèþ, ïîòîê âåëè÷èíû Ψ ÷åðåç ýëåìåíò ïîâåðõ-
íîñòè dS â åäèíèöó âðåìåíè â íàïðàâëåíèè íîðìàëè n ðàâåí ψu · ndS , ãäå
u  ñêîðîñòü æèäêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåëè÷èíû Ψ â îáëàñòü Ω ñî
ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ ÷àñòè æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü Γ çà âðåìÿ îò t äî
t + ∆t ðàâåí
                 t+∆t
                 Z        Z                             t+∆t
                                                        Z         Z
             −       dt       ψu · ndS = −                   dt       div(ψu)dx.
                 t        Γ                              t        Ω

Çäåñü ïðè ïåðåõîäå îò äâîéíîãî ê òðîéíîìó èíòåãðàëó ìû âîñïîëüçîâàëèñü
îðìóëîé (4.3), à çíàê  − âûáðàí ñ ó÷åòîì îðèåíòàöèè íîðìàëè n.
  Ñîãëàñíî îáùåìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ïðèðàùåíèå âåëè÷èíû Ψ çà âðåìÿ
∆t îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (óðàâíåíèåì áàëàíñà âåëè÷èíû Ψ â Ω):
                                 t+∆t
                                 Z             Z               t+∆t
                                                               Z           Z
         Ψ(t + ∆t) − Ψ(t) =               dt           qdx −          dt       div(ψu)dS.   (5.1)
                                  t            Ω                  t        Ω

àçäåëèâ îáå ÷àñòè íà ∆t è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆t → 0, ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå
       Ψ(t + ∆t) − Ψ(t)   dΨ   d
                                  Z      Z       Z
  lim                   ≡    =      ψdx = qdx − div(ψu)dx, (5.2)
  ∆t→0       ∆t           dt   dt
                                               Ω               Ω               Ω

êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                         ∂ψ
                     Z
                       [    + div(ψu) − q]dx = 0.                                           (5.3)
                         ∂t
                          Ω

                                               47

Страницы