Классические методы математической физики - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∂ψ
∂t
+ div(ψu) = q.
Ψ
Ψ
ψ = ρ, q = 0
∂ρ
∂t
+ div(ρu) = 0.
u ρ
x ∈ D t
D
x
1
= x, x
2
= y, x
3
= z i, j, k z
u
u
1
= u, u
2
= v, u
3
= w
∂ρ
∂t
+
3
X
i=1
∂
∂x
i
(ρu
i
) = 0.
f
2
ρf
ρfdx
dx
R
Ω
ρfdx
Ñ÷èòàÿ ïîäèíòåãðàëüíóþ óíêöèþ â (5.3) íåïðåðûâíîé è ïðèìåíÿÿ ëåììó
1.1, ïðèõîäèì ê äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
                           ∂ψ
                              + div(ψu) = q.                       (5.4)
                           ∂t
Óðàâíåíèå (5.4) íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ âåëè-
÷èíû Ψ, òîãäà êàê óðàâíåíèå (5.1) èìååò ñìûñë èíòåãðàëüíîãî çàêîíà ñî-
õðàíåíèÿ âåëè÷èíû Ψ. Ïðèìåíÿÿ (5.4) ê êîíêðåòíûì ãèäðîäèíàìè÷åñêèì
âåëè÷èíàì, òåïåðü íåòðóäíî âûâåñòè çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èìïóëü-
ñà è ò. ä., íà îñíîâå êîòîðûõ âûâîäÿòñÿ èñêîìûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè
äâèæåíèÿ æèäêîñòè.
   5.3. Ìîäåëè äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè. Íà÷íåì ñ âûâîäà
çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû. Ñ ýòîé öåëüþ ïîëîæèì â (5.4) ψ = ρ, q = 0 (ïî-
ñëåäíåå îáúÿñíÿåòñÿ îòñóòñòâèåì âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ ìàññû).  ðåçóëüòà-
òå ïîëó÷èì óðàâíåíèå
                            ∂ρ
                                + div(ρu) = 0.                     (5.5)
                             ∂t
Îíî íàçûâàåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ìàññû, èëè ïðî-
ñòî óðàâíåíèåì íåðàçðûâíîñòè. Â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû äâèæå-
íèå æèäêîñòè ïðîèñõîäèò òàê, ÷òî åå ñêîðîñòü u è ïëîòíîñòü ρ â êàæäîé
òî÷êå x ∈ D â ëþáîé ìîìåíò t óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (5.5). Âàæíî îò-
ìåòèòü, ÷òî (5.5) èìååò èíâàðèàíòíûé õàðàêòåð (â òîì ñìûñëå, ÷òî â åãî
çàïèñè íå ó÷àñòâóåò êîíêðåòíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò). Îäíàêî, äëÿ óïðîùå-
íèÿ äàëüíåéøèõ âûêëàäîê íàì áóäåò óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî â îáëàñòè D, ãäå
ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå æèäêîñòè, ââåäåíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäè-
íàò x1 = x, x2 = y, x3 = z ñ ïðàâûì áàçèñîì i, j, k, ïðè÷åì îñü z áóäåì
ñ÷èòàòü íàïðàâëåííîé ââåðõ. Îáîçíà÷èâ äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âåêòîðà u
÷åðåç u1 = u, u2 = v, u3 = w è ó÷èòûâàÿ îðìóëó (3.16) äëÿ äèâåðãåíöèè
â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, óðàâíåíèå (5.5) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
                                3
                         ∂ρ X ∂
                            +          (ρui) = 0.                  (5.6)
                         ∂t   i=1
                                  ∂x i

   Ïðåæäå, ÷åì ïðèñòóïèòü ê âûâîäó óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ðàñ-
ñìîòðèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà æèäêîñòü.  îáùåì ñëó÷àå ýòè ñèëû ïîä-
ðàçäåëÿþòñÿ íà âíåøíèå è âíóòðåííèå. Âíåøíèå ñèëû, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿ-
þòñÿ ìàññîâûìè (ëèáî îáúåìíûìè) è îïèñûâàþòñÿ ìàññîâîé (ëèáî îáúåì-
íîé) ïëîòíîñòüþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè f  ìàññîâàÿ ïëîòíîñòü âíåøíåé
ñèëû (ò. å. ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ìàññû è èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü
                 2
óñêîðåíèÿ ì/ñåê ), òî ρf ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé åå îáúåìíóþ ïëîòíîñòü (ò. å.
ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà åäèíèöó îáúåìà),   ρfdx  ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ýëå-
ìåíòàðíûé îáúåì dx è, íàêîíåö, Ω ρfdx  ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà îáëàñòü
                                 R

                                    48

Страницы