Классические методы математической физики - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

f
−
∂p
∂x
i
+ ρf
i
, i = 1, 2, 3.
ψ ρu
i
q
∂
∂t
(ρu
i
) + div(ρu
i
u) = −
∂p
∂x
i
+ ρf
i
,
ρ
∂u
i
∂t
+ ρ
3
X
j=1
u
j
∂u
i
∂x
j
+
"
∂ρ
∂t
+
3
X
j=1
∂
∂x
j
(ρu
j
)
#
u
i
= −
∂p
∂x
i
+ ρf
i
.
ρ
∂u
i
∂t
+ ρ
3
X
j=1
u
j
∂u
i
∂x
j
= −
∂p
∂x
i
+ ρf
i
, i = 1, 2, 3
u
i
ρ
∂u
∂t
+ ρ(u ·∇)u = −∇p + ρf.
(u · ∇)u
[(u · ∇)u]
i
=
3
X
j=1
u
j
∂u
i
∂x
j
, i = 1, 2, 3.
ãäå f  ìàññîâàÿ ïëîòíîñòü âñåõ âíåøíèõ ñèë (íàïðèìåð, ñèëû òÿæåñòè,
ñèëû Êîðèîëèñà è ò. ä.). Â ïðîåêöèÿõ íà îñè êîîðäèíàò (5.10) èìååò âèä
                                 ∂p
                             −       + ρfi , i = 1, 2, 3.                 (5.11)
                                 ∂xi
   Òåïåðü ìû â ñîñòîÿíèè âûâåñòè óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå äâèæåíèå æèä-
êîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèë ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ (5.10). Ñ ýòîé öåëüþ ïîä-
ñòàâèì â (5.4) âìåñòî ψ ïðîèçâåäåíèå ρui , à âìåñòî q êîìïîíåíòó (5.11)
ñèëû (5.10).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óðàâíåíèå
                     ∂                          ∂p
                       (ρui) + div(ρuiu) = −       + ρfi ,
                    ∂t                         ∂xi
êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
              3                    3
                           "                     #
      ∂ui    X      ∂ui      ∂ρ   X    ∂                   ∂p
    ρ     +ρ     uj      +      +          (ρuj ) ui = −        + ρfi .   (5.12)
      ∂t     j=1
                    ∂x j     ∂t   j=1
                                      ∂x j                 ∂x i


 ñèëó óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (5.6) âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â
(5.12) îáðàùàåòñÿ â íóëü. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì
                          3
                  ∂ui    X      ∂ui     ∂p
                ρ     +ρ     uj      =−      + ρfi , i = 1, 2, 3          (5.13)
                  ∂t     j=1
                                ∂x j    ∂x i

äëÿ êîìïîíåíò ui, ýêâèâàëåíòíûõ îäíîìó âåêòîðíîìó óðàâíåíèþ
                            ∂u
                        ρ      + ρ(u · ∇)u = −∇p + ρf.                    (5.14)
                            ∂t
Çäåñü ÷åðåç (u · ∇)u îáîçíà÷åí âåêòîð, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü óñêîðåíèÿ,
íàçûâàåìûé â ãèäðîäèíàìèêå êîíâåêòèâíûì óñêîðåíèåì, êîìïîíåíòû êî-
òîðîãî â äåêàðòîâîì áàçèñå îïðåäåëÿþòñÿ îðìóëàìè
                                      3
                                      X           ∂ui
                      [(u · ∇)u]i =          uj       , i = 1, 2, 3.
                                       j=1
                                                  ∂xj

Óðàâíåíèå (5.14) íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì óðàâíåíèåì ãèäðîäèíàìèêè èäåàëü-
íîé æèäêîñòè. Åãî òàêæå íàçûâàþò óðàâíåíèåì Ýéëåðà â ÷åñòü âûäàþùå-
ãîñÿ ó÷åíîãî Ëåîíàðäî Ýéëåðà (17071783). Ïîñêîëüêó åãî âûâîä îñíîâàí
íà èíòåãðàëüíîì çàêîíå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, òî óðàâíåíèå (5.14) íàçûâà-
åòñÿ òàêæå äèåðåíöèàëüíûì çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
   Óðàâíåíèÿ (5.5), (5.14) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó ÷åòûðåõ ñêàëÿð-
íûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïÿòè ñêàëÿðíûõ èñêîìûõ

                                             50

Страницы