Классические методы математической физики - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

S ψ = S, q = F
S
∂S
∂t
+ div(Su) = F
S
.
F
S
divu = 0.
∂ρ
∂t
+ u ·gradρ = 0.
ρ
ρ = const
ρ = const
u
1
, u
2
, u
3
p
M
1
M
2
M
3
M
4
M
5
ρ =
à ê ñèñòåìå (5.5), (5.14), (5.17), (5.18) ñëåäóåò äîáàâèòü åùå îäíî óðàâíåíèå
äëÿ S , ïîëó÷àþùååñÿ èç (5.4) ïðè ψ = S, q = FS , è èìåþùåå âèä
                            ∂S
                               + div(Su) = FS .                        (5.19)
                            ∂t
Çäåñü FS  îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ ñîëåé.
   Ïðèâåäåííûå âûøå ìîäåëè îïèñûâàþò ñïëîøíûå ñðåäû, õàðàêòåðèçó-
þùèå ãàçû è ñæèìàåìûå æèäêîñòè. Ìíîãèå ñðåäû, êàê, íàïðèìåð, îáû÷-
íàÿ âîäà, ïðàêòè÷åñêè íåñæèìàåìû. Ïîýòîìó äëÿ çàìûêàíèÿ ìàòåìàòè-
÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ òàêèå ñðåäû, âìåñòî óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ
âèäà (5.15), (5.16),(5.18) ñëåäóåò äîáàâèòü óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè æèäêî-
ñòè, èìåþùåå âèä
                                  divu = 0.                        (5.20)
 ñèëó (5.20) è òîæäåñòâà (4.20) óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (5.5) óïðîùàåòñÿ
è ïðèíèìàåò âèä
                               ∂ρ
                                   + u · gradρ = 0.                  (5.21)
                                ∂t
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðèðîäà óðàâíåíèÿ 1-ãî ïîðÿäêà (5.21) òàêîâà (ñì. Ÿ 2
ãë. 2), ÷òî åãî ðåøåíèÿ ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà õàðàêòåðèñòè-
êàõ óðàâíåíèÿ (5.21), îïèñûâàþùèõ ïî ñâîåìó èçè÷åñêîìó ñìûñëó òðà-
åêòîðèè ÷àñòèö äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü ρ
íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñîõðàíÿåòñÿ âäîëü ëþáîé òðàåêòîðèè (ò. å. âäîëü
õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (5.21)), õîòÿ è ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïðè ïåðåõî-
äå îò îäíîé òðàåêòîðèè ê äðóãîé. Ñ ó÷åòîì ïîñëåäíåãî îáñòîÿòåëüñòâà
óêàçàííóþ æèäêîñòü íàçûâàþò íåîäíîðîäíîé, à ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìó
óðàâíåíèé (5.14), (5.20) è (5.21) íàçûâàþò ìîäåëüþ èäåàëüíîé íåñæèìàå-
ìîé íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè.  âàæíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ρ = const,
æèäêîñòü íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå (5.21) òîæäåñòâåí-
íî âûïîëíÿåòñÿ ïðè ρ = const, òî ìîäåëü èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé îäíî-
ðîäíîé æèäêîñòè ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé (5.14), (5.20)
îòíîñèòåëüíî ÷åòûðåõ ñêàëÿðíûõ óíêöèé u1 , u2 , u3 è p.
   Èòàê, âûøå ìû âûâåëè ïÿòü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ
äâèæåíèå èäåàëüíîé æèäêîñòè. Ïåðå÷èñëèì èõ: 1) ìîäåëü M1 èäåàëüíîé
áàðîòðîïíîé æèäêîñòè, ñîñòîÿùàÿ èç ïÿòè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé (5.5),
(5.14), (5.15); 2) ìîäåëü M2 èäåàëüíîé äâóõïàðàìåòðè÷åñêîé æèäêîñòè, ñî-
ñòîÿùàÿ èç øåñòè óðàâíåíèé (5.5), (5.14), (5.16) è (5.17); 3) ìîäåëü M3
èäåàëüíîé òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé æèäêîñòè, ñîñòîÿùàÿ èç ñåìè óðàâíåíèé
(5.5), (5.14), (5.17), (5.18) è (5.19); 4) ìîäåëü M4 èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé
íåîäíîðîäíîé æèäêîñòè, ñîñòîÿùàÿ èç ïÿòè óðàâíåíèé (5.14), (5.20), (5.21)
è 5) ìîäåëü M5 èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé îäíîðîäíîé æèäêîñòè, ñîñòîÿùàÿ
èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé (5.14), (5.20) ïðè ρ = onst.

                                     52

Страницы