Классические методы математической физики - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ρ
∂u
∂t
+ ρ(u · ∇) u = −∇p + µ∆u + ρf, divu = 0, ρ = const.
D ρ
0
T
0
Ω D
Ω ρ T Ω
(ρ−ρ
0
)g
ρ −ρ
0
ρ
0
ρ = ρ
0
−ρ
0
α
T
(T −T
0
)
α
T
> 0
K
−1
K
f
T
f
T
= −ρ
0
α
T
(T − T
0
)g.
ρ = ρ
0
T
T
ρ = ρ
0
c =
k =
ρ
0
∂u
∂t
+ ρ
0
(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρ
0
f − ρ
0
α
T
(T − T
0
)g, divu = 0,
           ∂u
         ρ     + ρ(u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρf, divu = 0, ρ = const.
           ∂t
Ïîñëåäíÿÿ ìîäåëü, íàçûâàåìàÿ ìîäåëüþ Íàâüå-Ñòîêñà, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç
âàæíåéøèõ ìîäåëåé â ãèäðîäèíàìèêå âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
    Íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè ìîäåëÿìè äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè, ñóùå-
ñòâóåò åùå áîëüøîå êîëè÷åñòâî äðóãèõ ìîäåëåé, â êîòîðûõ, êðîìå ñèë
âÿçêîãî òðåíèÿ, ó÷èòûâàþòñÿ è äðóãèå ýåêòû, îïèñûâàåìûå äèåðåí-
öèàëüíûìè îïåðàòîðàìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ñðåäè íèõ ðàçëè÷àþò ìîäåëè
òåïëîïåðåíîñà, ó÷èòûâàþùèå äåéñòâèå â æèäêîñòè êàê ñèë òðåíèÿ, òàê è
òåïëîâûõ ýåêòîâ, ìîäåëè ìàññîïåðåíîñà, ìîäåëè âÿçêîé òîêîïðîâîäÿ-
ùåé æèäêîñòè, ó÷èòûâàþùèå ýåêòû äåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë
íà ïðîâîäÿùóþ æèäêîñòü, è ò. ä.
    Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü ïðèâåäåíèåì òðåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ïåðâàÿ
ìîäåëü îïèñûâàåò äâèæåíèå âÿçêîé îäíîðîäíîé íåñæèìàåìîé òåïëîïðî-
âîäíîé æèäêîñòè. Ïðåäâàðèòåëüíî îòìåòèì, ÷òî íàëè÷èå ãðàäèåíòà òåì-
ïåðàòóðû â æèäêîñòè ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ â íåé äîïîëíèòåëüíîé
îáúåìíîé ñèëû. ×òîáû âûâåñòè âûðàæåíèå äëÿ åå ïëîòíîñòè, ðàññìîòðèì
îáëàñòü D, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ æèäêîñòü ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ρ0 è
ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðîé T0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëå íàãðåâàíèÿ ëèáî
îõëàæäåíèÿ íåêîòîðîé ïîäîáëàñòè Ω îáëàñòè D ïëîòíîñòü è òåìïåðàòóðà
æèäêîñòè â Ω ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè ρ è T . Òîãäà íà æèäêîñòü â îáëàñòè Ω ñî
ñòîðîíû îñòàâøåéñÿ æèäêîñòè áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà, èìåþùàÿ ñìûñë ñè-
ëû ïëàâó÷åñòè, îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü êîòîðîé ðàâíà (ρ−ρ0 )g. Åñëè ðàçíîñòü
ρ − ρ0 ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ρ0 , òî òåðìîäèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ
æèäêîñòè ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî çàïèñàíî â âèäå ρ = ρ0 − ρ0 αT (T − T0 )
[5, ñ.210℄, [15, ñ.264℄. Çäåñü ïàðàìåòð αT > 0, íàçûâàåìûé îáúåìíûì êîý-
èöèåíòîì òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, èìååò ðàçìåðíîñòü K −1, ãäå K  ñîêðà-
ùåííîå îáîçíà÷åíèå Êåëüâèíà êàê åäèíèöû òåìïåðàòóðû. Îí òàê íàçâàí â
÷åñòü àíãëèéñêîãî èçèêà W. Thomson (18241907), ïîëó÷èâøåãî â 1892ã.
çà âûäàþùèåñÿ íàó÷íûå çàñëóãè òèòóë áàðîíà Êåëüâèíà (Kelvin). Ñ ó÷åòîì
óêàçàííîãî ïðèáëèæåíèÿ îáúåìíóþ ïëîòíîñòü fT ñèëû ïëàâó÷åñòè ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
                              fT = −ρ0 αT (T − T0)g.                (5.24)
   Âûðàæåíèå (5.24) ñëåäóåò äîáàâèòü â óðàâíåíèå (5.23), â êîòîðîì ñëåäó-
åò ïîëîæèòü ρ = ρ0 . Ïîñêîëüêó â (5.24) âõîäèò íåèçâåñòíàÿ â îáùåì ñëó÷àå
òåìïåðàòóðà T , òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ çàìêíóòîé ìîäåëè ê ïîñòðîåííîé ñèñòå-
ìå óðàâíåíèé íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äëÿ T .
 êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ìîæíî âçÿòü óðàâíåíèå (4.21) ïðè ρ = ρ0 , c = onst
è k = onst. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ìîäåëè
        ∂u
   ρ0      + ρ0 (u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρ0 f − ρ0 αT (T − T0)g, divu = 0,
        ∂t

                                     54

Страницы