Классические методы математической физики - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

T
C
ρ
0
∂u
∂t
+ ρ
0
(u · ∇ )u = −∇p + µ∆u + ρ
0
f − ρ
0
[α
T
(T − T
0
) − α
C
(C − C
0
)]g,
ρc
∂T
∂t
= k∆T −u ·∇T + F,
∂C
∂t
= η∆C − u ·∇C + F
C
, divu = 0.
ρ∂u/∂t ∂ρ/∂t ∂s/∂t
M
5
f = g
(u · ∇)u = −
1
ρ
∇p + g, divu = 0, ρ = const.
(u · ∇ )u = rotu × u + ∇
u
2
2
Äàííàÿ ìîäåëü ìàññîïåðåíîñà, íàçûâàåìàÿ ìîäåëüþ Îáåðáåêà-Áóññèíåñêà,
îïèñûâàåò ïðîöåññ ïåðåíîñà âåùåñòâà èëè ìàññ â âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèä-
êîñòè â ïðèáëèæåíèè Áóññèíåñêà.
    ñëó÷àå, åñëè ïåðåíîñ âåùåñòâà ïðîèñõîäèò â òåïëîïðîâîäíîé æèäêî-
ñòè, â êîòîðîé ñóùåñòâåííû òåïëîâûå ýåêòû, âîçíèêàþò äâå ñèëû ïëàâó-
÷åñòè: îäíà âûçûâàåòñÿ íàëè÷èåì âåùåñòâà â æèäêîñòè, à äðóãàÿ  òåìïå-
ðàòóðíûìè ýåêòàìè. Äîáàâèâ âûðàæåíèÿ (5.24) è (5.26) äëÿ óêàçàííûõ
ñèë â óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (5.23) è ïðèñîåäèíèâ ê ïîëó÷åííîìó
óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ òåìïåðàòóðû T è êîíöåíòðà-
öèè C è óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè, ïðèõîäèì ê åùå îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè, íàçûâàåìîé ìîäåëüþ òåïëî- è ìàññîïåðåíîñà â æèäêîñòè:
      ∂u
 ρ0      + ρ0 (u · ∇)u = −∇p + µ∆u + ρ0 f − ρ0 [αT (T − T0) − αC (C − C0)]g,
      ∂t
    ∂T                       ∂C
 ρc     = k∆T − u · ∇T + F,     = η∆C − u · ∇C + FC , divu = 0. (5.28)
     ∂t                      ∂t
   Çàìå÷àíèå 5.1. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ
ïðèâåäåííûõ çäåñü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåîáõîäèìî çàäàâàòü íà÷àëü-
íûå è êðàåâûå óñëîâèÿ. Ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå ðàçëè÷íûõ îðìóëèðîâîê
íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óêàçàííûõ ìîäåëåé ìîæíî íàéòè â öèòèðóå-
ìûõ âûøå ðóêîâîäñòâàõ ïî ãèäðîäèíàìèêå è òåïëîìàññîïåðåíîñó [30℄, [40℄,
[15℄.
   Çàìå÷àíèå 5.2. Âñå ïðèâåäåííûå âûøå ìîäåëè îïèñûâàþò íåñòàöè-
îíàðíîå äâèæåíèå æèäêîñòè.  ñëó÷àå, êîãäà ïðîöåññû äâèæåíèÿ æèäêî-
ñòè ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè, ò. å. íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, ìû ïðèõîäèì
ê ñòàöèîíàðíûì ìîäåëÿì äâèæåíèÿ æèäêîñòè. Îíè ïîëó÷àþòñÿ èç ïðè-
âåäåííûõ ìîäåëåé îòáðàñûâàíèåì â èñõîäíûõ óðàâíåíèÿõ ñëàãàåìûõ âèäà
ρ∂u/∂t, ∂ρ/∂t, ∂s/∂t è ò. ä.
  5.5. Ìîäåëü ñòàöèîíàðíîãî áåçâèõðåâîãî äâèæåíèÿ íåñæèìàå-
ìîé æèäêîñòè.    àññìîòðèì ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé
íåñæèìàåìîé îäíîðîäíîé æèäêîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Îòâå-
÷àþùàÿ ýòîìó ñëó÷àþ ìîäåëü M5 ïðèíèìàåò ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 5.1 è
óñëîâèÿ f = g âèä
                             1
                 (u · ∇)u = − ∇p + g, divu = 0, ρ = const.             (5.29)
                             ρ
Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå èç âåêòîðíîãî àíàëèçà âåêòîðíîå òîæäåñòâî
                                             2
                                             u
                    (u · ∇)u = rotu × u + ∇
                                              2


                                      56

Страницы